Question

已知1<x<3,则1/(x-1)+1/(3-x)的值的范围？

这是基本不等式

Answer 1

解：1<X<3,则X-1>0,3-X>0，1/(X-1)>0，1/(3-X)>0

有1/(X-1)+1/(3-X)≥2√[1/(X-1)×1/(3-X)](当且仅当1/(X-1)=1/(3-X)时等号成立)

=2√(1/(-X²+4X-3))

=2√{-1/[(X-2)²-1]}

因为1<X<3,故-1<X-2<1，0≤(X-2)²<1，-1≤(X-2)²-1<0，0<-[(X-2)²-1]≤1，1≤-1/[(X-2)²-1]<+∞

则2≤2√{-1/[(X-2)²-1]}<+∞

故1<X<3时，则1/(X-1)+1/(3-X)的值域为[2,+∞)

两大技巧

“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。

调整系数。有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

Answer 2

解：1<X<3,则X-1>0,3-X>0，1/(X-1)>0，1/(3-X)>0
有1/(X-1)+1/(3-X)≥2√[1/(X-1)×1/(3-X)](当且仅当1/(X-1)=1/(3-X)时等号成立)
=2√(1/(-X²+4X-3))
=2√{-1/[(X-2)²-1]}
因为1<X<3,故-1<X-2<1，0≤(X-2)²<1，-1≤(X-2)²-1<0，0<-[(X-2)²-1]≤1，1≤-1/[(X-2)²-1]<+∞，
则2≤2√{-1/[(X-2)²-1]}<+∞
故1<X<3时，则1/(X-1)+1/(3-X)的值域为[2,+∞)

Answer 3

这些最简单的解法是采取通风，然后得到括号里x减1×3件x分之2，然后结合二次函数的性质，求得分母的范围，进而求得整体的范围。

Answer 4

∵1＜x＜3

∴x-1＞0，3-x＞0

1/(x-1）+1/(3-x)=(x-1+3-x)/(x-1)(3-x)

=2/(x-1)(3-x)≥2/（x-1+3-x）²/4=2

当且仅当x-1=3-x即x=2时取等号。

x右趋于1，x左趋于3，1/（x-1）+1/(3-x)趋于正无穷大。

如图可以看出。

∴所求取值范围是[2，+∞）

Answer 5

常规思路。

供参考，请笑纳。