Question

一道高中数学高考向量题求解！

设△ABC的三个内角为A，B，C。向量M=（根号3.乘以sinA，sinB）N=（cosB，根号3.乘以cosA），若M乘以N=1+cos（A+B）则C=？

Answer 1

M*N=根号3sin（A+B）=根号3sinC；
1+cos（A+B）=1-cosC；
即：
根号3sinC=1-cosC；
解得sinC=0或者sinC=根号3/2；显然等于零不可能，不构成三角形；
所以sinC=根号3/2，而可以求得：cosC=1/2
故C=120度

Answer 2

MN=根号3sinAcosB+根号3cosAsinB
=根号3(sinAcosB+cosAsinB)
=根号3[sin(A+B)]
由题
根号3[sin(A+B)]=1+cos（A+B）
根号3[sin(A+B)]-cos（A+B）=1 ---->辅助角公式 方程左边提出一个2
2sin(A+B-pi/6)=1 ---->由 A+B=pi-c
sin(5pi/6-c)=1/2
因为c是三角形中的一角
5pi/6-c=30° 或150°
所以得 C=2pi/3=120° 或0(舍去)

Answer 3

M与N之间的夹角为D，所以
cosC=-cos(A+B)=1-M*N=1-M的模*N的模-cosD=1-2*【（根号3）/2】*sin（A+B）
=1-（根号3）*sin(A+B)=1-sinC

得根号3*sinC-cosC=1
C=120度

Answer 4

M·N=根号3sinAcosB+根号3cosAsinB
=根号3(sinAcosB+cosAsinB)
=根号3[sin(A+B)]

又 M·N=1+cos（A+B）

所以 1+cos（A+B）=根号3[sin(A+B)]

即1-cosC=根号3×sinC
sinC=(1-cosC)/根号3

又 sinC的平方+cosC的平方=1

所以 (1-cosC)的平方/3+cosC的平方=1

整理得 2cosC的平方-cosC-1=0
(2cosC+1)(cosC-1)=0
得cosC= -1/2 或1

因为C为三角形内角，，所以cosC=1舍去

所以C=120°

Answer 5

楼上最后一步错了
5π/6－C＝π/6或5π/6
前者得C＝2π/3，后者不成立，C只能等于2π/3