Question

有可去间断点被积函数f(x)的原函数F(x),一定可导吗？

Answer 1

有可去间断点被积函数f(x)的原函数F(x)，一定可导是正确的。积分是在一个区间上的面积，有可去间断点当然不会影响积分，那么在得到F(x)之后就还是可导的。给定一个函数f（x）如果x0是函数f(x)的间断点，并且f(x)在x0处的左极限和右极限均存在的点称为第一类间断点。

若f(x)在x0处得到左、右极限均存在且相等的间断点，称为可去间断点。需要注意的是，可去间断点需满足f（x）在x0处无定义，或在x0处有定义但不等于函数f（x）在x0的左右极限。

相关信息

f(x)在Xo的某一去心邻域内有定义，且Xo是函数f(x)的间断点，那么如果f(x-)与f(x+)都存在，则称Xo为f(x)的第一类间断点。又如果f(x-)=f(x+)且不等于f(Xo)（或f(Xo)无定义），则称Xo为f(x)的可去间断点（Removable Discontinuity )。

可去间断点可以用重新定义Xo处的函数值使新函数成为连续函数，可去间断点是左极限和右极限存在但是该点没有定义又称为可补间断点，可去间断点就是左极限＝右极限，但是不＝该点的函数值，或者在该点没有定义。因此，可去间断点是不连续的。