Question

设f在[a,+∞)上连续,且limf(x)存在.证明:f在[a,+∞)上有界？

Answer 1

因为lim(x->+∞)f(x)存在，不妨令其为a，则根据极限定义，对ε=1，存在正数d>0，使对任意x>d，有|f(x)-a|。

则根据极限定义，对ε=1，存在正数d>0，使对任意x>d，有|f(x)-a|<1。

即a-1。

a，有a-1。

=a，因为f(x)在[a,d]上连续，所以f(x)在[a,d]上有界。

即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界。

综上所述，f(x)在[a,+∞)上有界。

导数

也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。