Question

如何证明相关系数的取值范围在-1到1之间?

Answer 1

证明：

若ρXY=0，则称X与Y不相关。即ρXY=0的充分必要条件是COV（X，Y）=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。

构造函数h(t)=E((X-EX)t+(Y-EY))^2。

展开可得为(t^2)VAR(X)+2tCOV(X,Y)+VAR(Y)。

h(t)表示某非负随机变量的期望，因而大于等于0，故二次函数h(t)至多有一个实根，即判别式小于等于0。

结果易得证。

含义

依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。