Question

limx趋向正无穷(sin根号x+1-sin根号x)=

Answer 1

sin根号(x+1)-sin根号(x-1)=2
sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]cos[(根号(x+1)+根号(x-1))/2]然后利用夹逼原理0<=|sin根号(x+1)-sin根号(x-1)|=|2
sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]cos[(根号(x+1)+根号(x-1))/2]|=2|sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]|*|cos[(根号(x+1)+根号(x-1))/2]|<=2|sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]|然后求sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]的极限即可分子有理化根号(x+1)-根号(x-1)=[根号(x+1)-根号(x-1)][根号(x+1)+根号(x-1)]/[根号(x+1)+根号(x-1)]=[(x+1)-(x-1)]/[根号(x+1)+根号(x-1)]
(平方差公式)=2/[根号(x+1)+根号(x-1)]sin[(根号(x+1)-根号(x-1))/2]=sin[1/(sin[(根号(x+1)+根号(x-1))/2])]->0因为根号(x+1),根号(x-1)->无穷,分子是O(1)的所以由夹逼定理一定有极限为0