Question

关于高数曲面积分的问题

∑：Z=2 Dxy：x^2+y^2≤4
∫∫(∑)(x+z^2)dzdy＝?

有这样一个解释：“∑在xoy面上的投影区是一条线段故积分值为0”

我想请教一下 这个投影是线段吗 ？还是曲线？

曲线的面积积分是0 稍微解释一下吧 。。。

Answer 1

第1题，是第二类曲面积分，曲面是抛物面，在各个坐标面上投影，分别是

两个类似的抛物线与水平线围成的平面、一个圆，

分别计算这些投影面上的平面积分，最终相加即可。

当然，还有第二种方法，就是利用高斯公式：

将原来的曲面积分，补充一个圆形平面（圆心在(0,2,0)，半径为1）积分，得到闭曲面积分，从而可以化成三重积分，

正好得到抛物体体积。

也即最终等于抛物体体积减去一个圆形平面（与xoz平面平行，即抛物体的底面，此时满足dy=0, y=2）的积分（也即∫∫(-6)dxdz = 6圆面积 =6π），

第2题

曲线L，是一个以原点（也是半径为a的球体球心）为圆心的圆形平面的边界，可以应用Stokes公式，将闭曲线积分，转换成曲面积分

P=y-4

Q=z+3

R=x+1

求各个偏导之后，正好得到曲面面积，即圆面积πa^2

Answer 2

你可以从对坐标的曲面积分的物理意义上来看
∑在yOz平面上投影为：z=2,y∈[-2,2]，即一条线段，其所围面积为0
对坐标的曲面积分的物理意义：流体流向曲面一侧的流量
这流体速度垂直于yOz平面的分量通过曲面在yOz平面的投影面积所得流量为0(dQ=dS▪dV=0)
所以曲面积分为0

Answer 3

积分曲面是垂直于z轴的平面 ∑：Z=2
考察其对dzdy的积分当然看积分曲面上的微元在yoz平面上的投影，为一直线，当然投影面积为零，此时积分值必然为零，与被积函数无关。