费马大定理证明是什么？
证明费马大定理（证明过程详解）
已知：a^2+b^2=c^2
令c=b+k，k=1.2.3……，则a^2+b^2=(b+k)^2。
因为，整数c必然要比a与b都要大，而且至少要大于1，所以k=1.2.3……
设：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；
则a^2+b^2=c^2就可以写成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……
当n=1时，d+h=p，d、h与p可以是任意整数。
当n=2时，a=d，b=h，c=p，则d^2+h^2=p^2 => a^2+b^2=c^2。
当n≥3时，a^2=d^n，b^2=h^n，c^2=p^n。
因为，a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；要想保证d、h、p为整数，就必须保证a、b、c必须都是完全平方数。
∴a、b、c必须是整数的平方，才能使d、h、p在d^n+h^n=p^n公式中为整数。
假若d、h、p不能在公式中同时以整数的形式存在的话，则费马大定理成立。
设a=mk，则b=k(m^2-1)/2。
令m=k，则a=m^2，b=m(m^2-1)/2，令m/2=(m^2-1)，则b=(m/2)^2，c=(m/2)^2+m。
则a^2+b^2=c^2 => m^4+(m/2)^4=[(m/2)^2+m]^2=>m^2(2m^2-m-2)=0，m1=0（舍去），m2=(1±√17)/4（非整数）。
此外，当m/2=(m^2-1)时，（也可以让）b=(m^2-1)^2
则a^2+b^2=c^2 => m^4+(m^2-1)^4=[(m^2-1)^2+m]^2=> m(m^2-1)(2m^2-m-2)=0，m1=0，m2=±1，m3=(1±√17)/4。
验证：当m=±1时，b=h^(n^2)=(m^2-1)^2=0；即a^2=c^2。与题要求不符。
假若d、h、p可以以整数的形式出现，说明等式d^n+h^n=p^n成立，费马大定理不成立。否则，d^n+h^n≠p^n不等式成立，费马大定理成立。
证明完成：
1986年，英国数学家安德鲁·怀尔斯听到里贝特证明弗雷命题后，感到攻克费马大定理到了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域，他开始放弃所有其它活动，精心梳理有关领域的基本理论，为此准备了一年半时间把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法“排队”。
接下来的要将两种“排队”序列对应配对，这一步他两年无进展。此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效，到1991年他之前的导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线，这一方法使其工作有重大进展。
1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为“L函数和算术”的学术会议，组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨，于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题，分三次作了演讲，听完演讲人们意识到谷山—志村猜想已经证明。
由此把法尔廷斯证明的莫德尔猜想、肯·里贝特证明的弗雷命题和怀尔斯证明的谷山—志村猜想联合起来就可说明费马大定理成立。其实这三个猜想每一个都非常困难，问题是怀尔斯的最后证明，他变为完成费马大定理证明的最后一棒。
费马大定理的证明是由英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）于1994年完成的。
费马大定理的内容是：
对于任何整数 n>2，方程 xⁿ+yⁿ=zⁿ 没有非零的整数解。
怀尔斯通过将费马大定理与代数几何中的“椭圆曲线”和“模形式”联系起来，最终完成了证明。这个过程涉及现代数学的一些最复杂和深奥的工具，尤其是在数论和代数几何领域。
下面是怀尔斯证明过程的简要概述：
1. 谷山-志村-韦尔猜想的应用
怀尔斯的证明利用了一个名为“谷山-志村-韦尔猜想”（也称为模性定理）的猜想。该猜想声称，每一个定义在有理数上的椭圆曲线都可以与一种“模形式”联系起来。模形式是一类特别的函数，具有一些对称性和特殊性质。
怀尔斯注意到，如果可以证明谷山-志村猜想对所有“半稳定椭圆曲线”成立，就能够推翻与费马大定理相关的假设，间接证明费马大定理的正确性。特别是，他证明了如果存在满足费马大定理的解，那么会对应于某种特殊椭圆曲线，而这种椭圆曲线与模形式之间不存在联系。这一矛盾最终证明了解不可能存在。
2. 费马大定理与椭圆曲线的联系
怀尔斯的核心策略是通过“伽罗瓦表示”（Galois representation）将费马大定理转化为关于椭圆曲线的问题。具体而言，他利用椭圆曲线的性质来构造与费马方程相关的对象，并通过研究这些对象的模性（是否与模形式相对应）来完成证明。
3. 同余与可换图的工具
怀尔斯证明过程中的关键一步是构造两个不同类型的表示，并建立这些表示之间的关系。他通过构建“可换图”（commutative diagrams）来展示这些表示是如何相互作用的，并利用模形式的特性来推导出椭圆曲线必须具有的性质。
4. 初步证明与修复漏洞
怀尔斯最初于1993年提出了他的证明，但在同行审议过程中发现了一个关键漏洞。这一漏洞出现在证明某些技术性步骤时的细节处理上。在发现这个问题后，怀尔斯与他的学生理查德·泰勒（Richard Taylor）合作，最终在1994年成功修复了这一漏洞，并完整地给出了费马大定理的证明。
5. 证明的影响
怀尔斯的证明不仅解决了费马大定理这一困扰数学家三百多年的难题，也对数论、代数几何、模形式理论等数学领域产生了深远影响。怀尔斯的工作被广泛认可，他也因此获得了多个数学奖项，如阿贝尔奖和菲尔兹奖特等奖。
总结
怀尔斯的证明过程可以概括为：
利用谷山-志村猜想将费马大定理与椭圆曲线和模形式联系起来。
构造伽罗瓦表示，并分析椭圆曲线的性质。
证明所有半稳定椭圆曲线是模的（可以由模形式描述），从而推出费马大定理成立。
怀尔斯的证明复杂而深奥，但其核心思想是通过现代数论和代数几何工具，将费马大定理转化为一个可以解决的模性问题，从而彻底解决了这个著名的未解之谜。
