Question

极限求解--递推型数列

Answer 1

递推型数列，一般可以表示为x(n+1)=f(x(n))，这一类题目的基本思想都是“ 先证明数列的极限存在，然后再求出极限值 ”，求极限值比较简单，设极限求等式就行了，难点在于证明极限存在。通常采用的方法是单调有界定理，即“ 单调有界必收敛 ”，但是面对不单调或者不确定单调的数列，这种方法有时候就有点麻烦了。

本篇在介绍 单调有界准则 的同时，添加“ 压缩映射 ”的求解思想，进一步加强这类题目的理解和求解。

【注】

(1)是证明单调的一种方法，当然如果数列是单调的话，我们不一定需要这样证明单调，这里只是给出一个求单调性的思路；

(2)就比较重要了，尤其是遇到 数列不单调或者不确定单调性 的时候，将数列大小的比较换成相邻两项差的绝对值的比较，这种方法其实就是“ 压缩映射 ”思想的应用，因为考研并不要求使用“压缩映射”，所以在这里也不对“压缩映射”进行分析，能把握上面思想的应用就可以了。

这里包含了两个方向，分别是“ 单调递增有上界的数列存在极限 ”和“ 单调递减有下界的数列存在极限 ”。

单调性证明方法：

（1）相邻两项作差，即x(n+1)-x(n)，通过正负号证明单调；（ 最常用的方法 ）

（2）相邻两项作商，判断大于1还是小于1，这种适用于累积的题型；

（3）利用一些基本不等式进行对比，如；sinx≤x、e^x≥x+1、ln(1+x)≤x;

（4）将问题转化为函数问题，利用函数单调性等性质进行求解；

（5）上面“ 准备知识 ”里面的利用拉格朗日中值定理；

（6）数学归纳法。

有界性证明方法：

（1）数学归纳法；

（2）利用一些基本的不等式进行对比，如x+1/x≥2等;

（3）将问题转化为函数问题，利用函数单调性等性质进行求解。

【 注 】因为篇幅问题， 本篇主要采用的是“准备知识”里面的方法 ，一方面是加强大家对“准备知识”方法的理解，和另一方面我觉得这种方法比较 万能 ， 适用于多种类型的求解 。以后有机会再更新别的方法。

下面加个例子巩固一下这种方法

通过“ 准备知识 ”的说明，我们可以大概了解到，这是一种通过利用数列中相邻两项绝对值不断缩小来说明数列收敛的方法，这种方法好处就在于不管数列是单调还是非单调，只要相邻两项绝对值不断缩小，我们可以通过这点来进行证明。

下面加个例子巩固一下：

一般对于这种递推式，利用本篇的方法，通过将递推关系转化成函数，对函数求导并通过观察导数的特征来确定解题的思路。

若导数的绝对值小于1，则可以先考虑使用“压缩映射”思想来进行求解。  要是不好得到导数绝对值是否小于1（前面的例子1和例子2就不好看出来），这样我们就可以看一下导数是否大于0，再考虑利用证单调和有界的方法进行求解。

不过大部分情况下（起码我遇到的题目是，前面的例子我特意找来说明的），还是可以直接得到 导数的绝对值小于1 这个线索的，所以掌握这种解题的思路挺有帮助的。