(概率论基础4)随机变量的数字特征

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黑科技1718
2022-07-26 · TA获得超过5880个赞
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假设离散型随机变量 的分布律为: 。若级数 收敛,则称 为随机变量 的 数学期望 。记为 。

假设离散型随机变量 的分布律为: 。若 绝对收敛,则有

假设连续型随机变量 的密度函数为: 。若积分 绝对收敛,则 为随机变量 的 数学期望 。记为 。

假设连续型随机变量 的密度函数为: 。若积分 绝对收敛,则:

证明的方法:无脑带入公式 即可。

与条件分布的定义类似,条件期望就是它在给定某种附加条件下的期望,可记为 ,若只有一个随机变量 ,则可记为 。

若知道了随机变量 的联合概率密度 ,则 可以定义为:先给定 之下, 的条件密度函数 ,由期望的定义:

条件期望反映了随着 取值 的变化, 的平均变化情况如何。在统计学上,常把 条件期望 作为 的函数称为 对 的“回归函数”。

结合全概率公式的意义可知:变量 的期望,应该等于其条件期望 对 取加权平均,即:

式(1.5)的证明如下:记 , ,则按照定义:

在公式(1.6)中, 的值可以写成:


综上, ,公式(1.5)得证。

设 是一个随机变量,若 存在,则 ,通俗的说,就是 随机变量 的函数 的期望
那么带入有公式(1.1)和公式(1.2)可知,方差有


展开得:

协方差:
相关系数:

矩的定义:设 为随机变量, 为常数, 为正整数,则量 称为 关于 的 阶矩。那么,当 时,就称为“原点矩”,当 时,就称为中心矩。

设 服从标准正态分布 ,则称统计量

服从自由度为 的 分布,记为 。

设 服从标准正态分布 , 服从 则称统计量

服从自由度为 的 分布,记为 。

设 服从 , 服从 则称统计量

服从自由度为 的 分布,记为 。

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