假设离散型随机变量 的分布律为: 。若级数 收敛,则称 为随机变量 的 数学期望 。记为 。
假设离散型随机变量 的分布律为: 。若 绝对收敛,则有
假设连续型随机变量 的密度函数为: 。若积分 绝对收敛,则 为随机变量 的 数学期望 。记为 。
假设连续型随机变量 的密度函数为: 。若积分 绝对收敛,则:
证明的方法:无脑带入公式 即可。
与条件分布的定义类似,条件期望就是它在给定某种附加条件下的期望,可记为 ,若只有一个随机变量 ,则可记为 。
若知道了随机变量 的联合概率密度 ,则 可以定义为:先给定 之下, 的条件密度函数 ,由期望的定义:
条件期望反映了随着 取值 的变化, 的平均变化情况如何。在统计学上,常把 条件期望 作为 的函数称为 对 的“回归函数”。
结合全概率公式的意义可知:变量 的期望,应该等于其条件期望 对 取加权平均,即:
式(1.5)的证明如下:记 , ,则按照定义:
在公式(1.6)中, 的值可以写成:
综上, ,公式(1.5)得证。
设 是一个随机变量,若 存在,则 ,通俗的说,就是 随机变量 的函数 的期望 。
那么带入有公式(1.1)和公式(1.2)可知,方差有
展开得:
协方差:
相关系数:
矩的定义:设 为随机变量, 为常数, 为正整数,则量 称为 关于 的 阶矩。那么,当 时,就称为“原点矩”,当 时,就称为中心矩。
设 服从标准正态分布 ,则称统计量
服从自由度为 的 分布,记为 。
设 服从标准正态分布 , 服从 则称统计量
服从自由度为 的 分布,记为 。
设 服从 , 服从 则称统计量
服从自由度为 的 分布,记为 。
2024-10-13 广告