Question

(概率论基础4)随机变量的数字特征

Answer 1

假设离散型随机变量 的分布律为： 。若级数 收敛，则称 为随机变量 的 数学期望 。记为 。

假设离散型随机变量 的分布律为： 。若 绝对收敛，则有

假设连续型随机变量 的密度函数为： 。若积分 绝对收敛，则 为随机变量 的 数学期望 。记为 。

假设连续型随机变量 的密度函数为： 。若积分 绝对收敛，则：

证明的方法：无脑带入公式 即可。

与条件分布的定义类似，条件期望就是它在给定某种附加条件下的期望，可记为 ，若只有一个随机变量 ，则可记为 。

若知道了随机变量 的联合概率密度 ，则 可以定义为：先给定 之下， 的条件密度函数 ，由期望的定义：

条件期望反映了随着 取值 的变化， 的平均变化情况如何。在统计学上，常把 条件期望 作为 的函数称为 对 的“回归函数”。

结合全概率公式的意义可知：变量 的期望，应该等于其条件期望 对 取加权平均，即：

式(1.5)的证明如下：记 ， ，则按照定义：

在公式(1.6)中， 的值可以写成：

综上， ，公式(1.5)得证。

设 是一个随机变量，若 存在，则 ，通俗的说，就是 随机变量 的函数 的期望 。
那么带入有公式(1.1)和公式(1.2)可知，方差有


展开得：

协方差：
相关系数：

矩的定义：设 为随机变量， 为常数， 为正整数，则量 称为 关于 的 阶矩。那么，当 时，就称为“原点矩”，当 时，就称为中心矩。

设 服从标准正态分布 ，则称统计量

服从自由度为 的 分布，记为 。

设 服从标准正态分布 ， 服从 则称统计量

服从自由度为 的 分布，记为 。

设 服从 ， 服从 则称统计量

服从自由度为 的 分布，记为 。