Question

设a.b.c是不全相等的正数 1.[a+b][b+c][c+a]>8abc 2.a+b+c>根号ab+根号bc+根号ca

Answer 1

设A.B.C是不全相等的正数,求证
1)(A+B)(B+C)(C+A)大于8ABC
∵A、B、C均大于零,
∴A+B≥2√(AB)
B+C≥2√(BC)
C+A≥2√(AC)
∴(A+B)(B+C)(C+A)≥(2√AB)(2√BC)(2√AC)
=8√(ABC)��
=8ABC
上述等号只有在A=B=C时候取得,但是题目已知 A.B.C是不全相等
所以：
(A+B)(B+C)(C+A)≥8ABC
2)A+B+C>√AB+√BC+√CA
上述不等式两边同乘以2,得到：
2A+2B+2C>2√AB+2√BC+2√CA
(A+B)+(B+C)+(A+C)>2√AB+2√BC+2√CA
[(A+B)-2√AB]+[(B+C)-2√BC]+[(A+C)-2√CA]>0
(√A-√B)^+(√B-√C)^+(√C-√A)^>0
左式是三个完全平方数的和,那么它们各自均≥0.又因为A.B.C是不全相等的正数,所以,它们不能同时为零.
故,原命题成立.