正定矩阵一定是实对称矩阵吗?
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不一定是对称的。
正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵(共轭对称)。
因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内(实数域上是对称矩阵)。如果只是要求矩阵M有(x^T)Mx>0,那么任何矩阵M,只要其满足A=(M+M^T)/2,且(x^T)Ax>0,即可。例如,M=,A=。但如果M不是厄米特矩阵,一般不讨论他的正定性。
正定矩阵的特征方法:
1、 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。
2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
3、对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU。
4、对称矩阵A正定,则A的主对角线元素均为正数。
5、对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零。
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