Question

幂函数的定义域是多少？

Answer 1

幂函数的定义域是：当a为负数时，定义域为（－∞，0）和（0，＋∞）。当a为零时，定义域为（－∞，0）和（0，＋∞）；当a为正数时，定义域为（－∞，＋∞）。

幂函数的定义域：形如y=x^a(a为常数）的函数，称为幂函数。

1、一般地。形如y=x(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x 、y=x、y=x、y=x（注：y=x=1/x y=x时x≠0）等都是幂函数。

2、性质：幂函数的图象一定在第一象限内，一定不在第四象限，至于是否在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

3、正值性质；当α>0时，幂函数y=x有下列性质：图像都经过点（1,1）(0,0）；函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

4、负值性质；当α<0时，幂函数y=x有下列性质：图像都通过点（1,1）；图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）

5、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

6、零值性质；当α=0时，幂函数y=x有下列性质：y=x的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

Answer 2

幂函数的定义域依赖于指数的性质，可以分为以下几种情况：

1. 当指数为正偶数时（n为正偶数），幂函数的定义域是整个实数集（负数、零和正数）。

2. 当指数为正奇数时（n为正奇数），幂函数的定义域是整个实数集（负数、零和正数）。

3. 当指数为负偶数时（n为负偶数），幂函数的定义域是正实数集，排除了零和负数。

4. 当指数为负奇数时（n为负奇数），幂函数的定义域是整个实数集（负数、零和正数）。

需要注意的是，幂函数中底数不能为负数或零，因为对负数或零取某些指数可能会导致非实数的结果。因此，在幂函数的定义域中通常要排除负数和零作为底数。

总结起来，幂函数的定义域取决于指数的正负和奇偶性，但一般情况下排除负数和零作为底数。

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幂函数的定义

幂函数是指具有形式 f(x) = a^x 的函数，其中 a 是底数，x 是指数。在幂函数的定义中，有以下几个要点：

1. 底数 a 的取值，一般情况下，底数 a 可以是任意实数（正数、负数或零），除非出现特殊限制条件。但在某些上下文中，可能会有特定的要求或限制，例如在介绍指数函数时，通常要求底数 a 大于 0 且不等于 1。

2. 指数 x 的取值，指数 x 可以是任意实数，包括正数、负数和零。

需要注意的是，在幂函数中，底数和指数的取值范围可能会对函数的性质和定义域产生影响。在特定情况下，可能需要排除一些特殊值来确保函数的定义和可行性，比如避免出现无定义或复数结果。

综上所述，幂函数的定义可以表示为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数，a 和 x 可以取任意实数值，具体的定义和性质可能会受到特定条件或约束的影响。

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幂函数的定义域求解方法

要求解幂函数的定义域，可以根据幂函数的性质和定义来进行判断。下面是一种常用的方法：

1. 对于实数幂函数 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。

2. 首先考虑底数 a 的取值范围：

如果 a > 0，那么底数 a 大于 0，不等于 1，没有限制。

如果 a = 0，那么这个幂函数在定义域上为 {0}。

如果 a < 0，那么底数 a 小于 0，这时要考虑指数 x 的奇偶性：

如果 x 是整数，那么根据奇偶性判断结果：

当 x 为偶数时，幂函数的定义域为 {x | x 是整数且 x 偶数}。

当 x 为奇数时，幂函数的定义域为整个实数集。

如果 x 不是整数，那么幂函数的定义域为整个实数集。

3. 综合考虑底数 a 和指数 x 的情况：

当 a > 0 或者 a = 0 时，幂函数的定义域为整个实数集。

当 a < 0 时，根据指数 x 的奇偶性来判断幂函数的定义域。

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需要注意的是，在特定情况下，可能有其他限制条件或约束，比如幂函数与其他函数的复合，或者针对特定问题中的限制。在解决具体问题时，可以根据具体情况灵活运用这些方法来求解幂函数的定义域。

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幂函数的定义域例题

让我们通过解决一个具体的例题来探讨幂函数的定义域。

例题：求解函数 f(x) = (2/3)^{2x - 1} 的定义域。

解答：

对于这个幂函数，底数 a = 2/3，指数 x 在实数范围内。

首先，考虑底数 a = 2/3。这是一个正数且不等于 1，没有限制。

然后，我们需要考虑指数 x 的取值范围。由于指数 x 不受限制，我们可以将注意力放在括号内的 2x - 1 表达式上。

对于定义域，我们要避免出现以下情况：

1. 底数为 0 的情况，因为 0 不能作为底数。

2. 底数为负数的情况，因为负数底数的幂可能产生复数结果。

首先，我们排除第一种情况：2/3 ≠ 0，所以不存在底数为 0 的问题。

然后，我们检查第二种情况：2/3 是否小于 0。由于 2/3 是正数，不存在底数为负数的问题。

综上所述，对于给定的幂函数 f(x) = (2/3)^(2x - 1)，它在整个实数范围内都有定义，因此定义域为 (-∞, +∞)。