Question

二、数字图像处理基本运算

Answer 1

        点运算具有如下特点：1）点运算针对图像中的每一个像素灰度，独立地进行灰度值的改变；2）输出图像中每个像素点的灰度值，仅取决于相应输入像素点的值；3）点运算不改变图像内的空间关系；4）从像素到像素的操作；5）点运算可完全由灰度变换函数或灰度映射表确定。

        具体一点，对于一整张图像来说：

其中，对于a和b，有以下特点：

        这种运算意思很明了，就是一对一映射。实际上，上述的线性和非线性点运算到最后也可以看成是映射表点运算。

        加法运算的定义：

主要应用有去除“叠加性”噪音、生成图像叠加效果等。

        1）去除“叠加性”噪音。对于原图像f(x,y)，有一个噪音图像集： ，其中： ，M个图像的均值定义为： ，当噪音 为互不相关，且均值为0时，上述图像均值（即 ）将降低噪音的影响。通过这个事实，可以得出一个定理：对M幅加性噪声图像进行平均，可以使图像的平方信噪比提高M倍。

        2）生成图像叠加效果。对于两个图像f(x,y)和h(x,y)的均值有： ，这样会得到二次曝光的效果。推广这个公式为： 。我们可以得到各种图像合成的效果，也可以用于两张图片的衔接。

        减法的定义：

主要应用有去除不需要的叠加性图案、检测同一场景两幅图像之间的变化等。

        1）去除不需要的叠加性图案。设：背景图像b(x,y)，前景背景混合图像f(x,y)。则 ，g(x,y)为去除了背景的图像。电视制作的蓝屏技术就基于此：

        2）检测同一场景两幅图像之间的变化。设：时间1的图像为 ，时间2的图像为 。则

        乘法的定义：

主要应用有图形的局部显示等。

        求反的定义：

其中R为f(x,y)的灰度级。主要应用有获得一个图像的负像、获得一个子图像的补图像等。

        异或运算的定义：

主要应用有获得相交子图像等。

        与运算的定义：

主要应用有求两个子图像的相交子图等。

        在图像空间，对图像的形状、像素值等进行变化、映射等处理。

        即改变图像的形状。主要有基本变换和灰度插值。

        几何变换的基本概念：对原始图像，按照需要改变其大小、形状和位置的变化。

        变换的类型：二维平面图像的几何变换、三维图像的几何变换、由三维向二维平面的投影变换等。

        定义：对于原始图像f(x,y)，坐标变换函数

唯一确定了几何变换：

        二维图像几何变换的基本方式有多项式变换、透视变换等。

        1）多项式变换。基本公式：

线性变换——多项式变换中的一阶变换：

使用多项式变换实现二维图像的几何变换即由线性变换确定的图像的平移、缩放、旋转、镜像与错切。

        2）二维数字图像基本几何变换的矩阵计算。

        原始图像与目标图像之间的坐标变换函数为线性函数，这可以通过与之对应的线性矩阵变换来实现。

        齐次坐标表示法——用n+1维向量表示n维向量。设有变换矩阵T，则二维图像的基本几何变换矩阵为：

        二维图像的基本几何变换具有特征：1）变换前图形上的每一点，在变换后的图形上都有一确定的对应点，如原来直线上的中点变换为新直线的中点；2）平行直线变换后仍保持平行，相交直线变换后仍相交；3）变换前直线上的线段比等于变换后对应的线段比。

        变换矩阵T可以分解为2个子矩阵，子矩阵1： ，可实现恒等、比例、镜像、旋转和错切变换；子矩阵2： ，可实现图像的平移变换（e=0，f=0时无平移作用）。

        a）平移变换（只改变图像位置，不改变图像的大小和形状）。设：

可有： 。

        b）水平镜像。

        c）垂直镜像。

        d）缩放变换：x方向缩放c倍，y方向缩放d倍

c，d相等，按比例缩放：

c，d不相等，不按比例缩放——几何畸变：

        e）旋转变换：绕原点旋转 度。设：

        旋转变换的注意点：

        i）图像旋转之前，为了避免信息的丢失，一定有平移坐标。具体有如下两种方法：

        ii）图像旋转之后，会出现许多的空洞点，对这些空洞点必须进行填充处理，否则画面效果不好。这种操作被称之为插值处理。

        f）错切变换：图像的错切变换实际上是景物在平面上的非垂直投影效果。

x方向的错切：

y方向的错切：

错切之后，原图像的像素排列方向改变。与旋转不同的是，x方向与y方向独立变化。

        g）伪仿射变换——双线性几何变换：

伪仿射变换有两个特点：与xy平面上坐标轴平行的直线，变换为 平面上的直线；与xy平面上坐标轴不平行的直线，变换为 平面上的曲线。

        h）任意变形变换——非线性几何变换。可以有以下两种作用：在二维平面上，实现图像几何形状的任意变换；在二维平面上，校正图像的几何失真。

        特征：一般的，原始图像与目标图像之间，存在一一对应的特征点（tiepoints，GCPs）。

        模型：一般的，原始图像与目标图像之间的坐标变换函数为非线性函数，需用高阶多项式进行近似描述。例如，三阶多项式变换：

        通过原始图像与目标图像之间多个对应特征点（GCP点），可以确定上述多项式中的未知参数。

        多项式阶数与GCP数量的关系：

        通过多项式变换进行任意变形变换后的误差，通常用均方误差表示：

        3）二维图像的透视变换。将一个平面上的点 ，以投影中心O为基准，投影成另一个平面上的点 ；可看作为三维物体向二维图像透视投影的特殊形式。

        透视投影：当人们站在玻璃窗内用一只眼睛观看室外的建筑物时，无数条视线与玻璃窗相交，把各交点连接起来的图形即为透视图。

        透视投影相当于以人的眼睛为投影中心的中心投影，符合人们的视觉形象，富有较强的立体感和真实感。

        随着观看角度的变化，可看到物体的一个或多个侧面；在透视处理上，按照空间直角坐标系的划分，相应的分为单点透视投影、双点透视投影和三点透视投影。

        二维图像透视变换函数及其齐次坐标表示为：

与前面关于齐次变换矩阵的描述类似，这里引入第三个子矩阵 ，实现图像的透视变换。变换式中共有8个独立的参数，可采用图像点对的方式（最少采用4对共8个点即可），进行二维平面图像的透视投影计算。

总结基本几何变换的特征：

        1）坐标空间的变化：范围发生变化；大小发生变化。

        2）像素值的变化：像素值不发生变化——位置改变；像素值发生变化——旋转、缩放、变形变换。

        1）最近邻插值法

        选择最临近点像素灰度值。如图2.21中， 点像素的灰度值为原图像中 点的像素值。

最近邻插值法的特点有：a）简单快速；b）灰度保真性好；c）误差较大；d）视觉特性较差（容易造成马赛克效应）。

        2）双线性插值法（一阶插值）

        如图2.22中，有

最终， 由以上四个结果得出。

        双线性插值可以有简化的计算方法。如图2.23中，即有，应用双曲抛物面方程：

归一化坐标值：

最终有：

双曲抛物面的特点：a）计算中较为充分地考虑相邻各点的特征，具有灰度平滑过渡特点；b）一般情况下可得到满意结果；c）具有低通滤波特性，使图像轮廓模糊；d）平滑作用使图像细节退化，尤其在放大时；e）不连续性会产生不希望的结果。

        3）最佳插值函数。在满足Nyquist条件下，从离散信号 可恢复连续信号x(t)：

        4)高阶插值。如果简化计算，仅取原点周围有限范围函数（如图2.25所示）；

并利用三次多项式来近似理论上的最佳插值函数sinc(x):

由此形成常用的三次卷积插值算法，又称三次内插法、两次立方法（Cubic）、CC插值法等。

        三次卷积插值算法特点：a）是满足Nyquist下，最佳重构公式的近似；b）只有图像满足特定的条件，三次卷积插值算法才能获得最佳结果；c）可使待求点的灰度值更好地模拟实际可能值；d）可取得更好的视觉效果；e）三次卷积内插突出的优点是高频信息损失少，可将噪声平滑；f） 时，像元均值和标准差信息损失小；g）计算量大为增加。

        5）图像处理中内插方法的选择。内插方法的选择除了考虑图像的显示要求及计算量，还要考虑内插结果对分析的影响。a）当纹理信息为主要信息时，最近邻采样将严重改变原图像的纹理信息；b）当灰度信息为主要信息时，双线性内插及三次卷积内插将减少图像异质性，增加图像同质性，其中，双线性内插方法将使这种变化更为明显。

        即改变图像像素值。主要有模板运算、灰度变换和直方图变换。

        定义：对于原图像 ，灰度值变换函数 唯一确定了非几何变换： ， 是目标图像。

        非几何变换属于像素值的变换——灰度变换，没有几何位置的改变。

        对于彩色原图像 ，颜色值变换函数 唯一确定了非几何变换：

        简单变换——像素值一一对应的映射，如伪彩色变换；复杂变换——同时考虑相邻各点的像素值，通常通过模板运算进行。        

        1）定义。所谓模板就是一个系数矩阵；模板大小：经常是奇数，如