Question

高中导数数学题

利用导数的方法求1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^(n-1) （x不等于1，n为正整数）

Answer 1

考虑一个等比数列的和：
f(x) = x + x^2 + x^3 + ... + x^n.
容易看出，题中要求的就是 f(x) 的导数 f'(x).
根据等比数列的求和公式：x 不等于 1 时，f(x) = x(1-x^n)/(1-x).
所以对 f(x) 求导得到 f'(x) = [1-(n+1)x^n+nx^(n+1)]/(1-x)^2.
即 1+2x+...+nx^(n-1)=[1-(n+1)x^n+nx^(n+1)]/(1-x)^2.

Answer 2

设P=1+x+x2+x3+...+xn. 对左右求导，P'=1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^(n-1) 。 而P=x^(n+1) -1 /x-1 ,求出P'就可以了

Answer 3

因为x+x^2+x^3+...+x^n=x(1-x^n)/(1-x)
上式两边求导.1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^(n-1)=[1-(n+1)x^n+nx^(n+1)]/(1-x)^2

Answer 4

(x+x^2+x^3+……x^n)'=1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^(n-1) ,接下来只要对x+x^2+x^3+……x^n)求和再求导就行了

Answer 5

高等数学中的无穷级数问题
原式=∑nx^(n-1)
当|x|＞1时，级数发散
当|x|＜1时，对原式先求积，后求导
原式=（∑x^n)'=(1/（1-x))'=(1-x)^-2