Question

三角形重心向量结论是什么？

Answer 1

三角形重心向量结论：

三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

性质二、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。

性质三、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

性质四、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。

重心坐标的计算方法：

摆线质量均匀，所以线密度为常数，设为ρ：

弧微分ds＝2｜sin（t／2）｜dt，由弧长s＝4得摆线只有半拱（0≤t≤π）。

摆线的质量m＝4ρ。

摆线关于x轴的静力矩mx＝ρ∫yds＝ρ∫（0～π）（1－cost）×2sin（t／2）dt＝16ρ／3。

摆线关于y轴的静力矩my＝ρ∫xds＝ρ∫（0～π）（t－sint）×2sin（t／2）dt＝16ρ／3。

重心的坐标是：x＝mx／m＝4／3，y＝my／m＝4／3。

所以，重心坐标是（4／3，4／3）。

Answer 2

三角形的重心是指三条中线的交点，它是三角形内部重心的位置。而三角形重心向量的结论是指通过三角形的三个顶点构成的向量和重心向量之间的关系。

设三角形的顶点分别为A、B、C，三角形的重心为G。那么根据三角形重心的定义，可以得到如下结论：

1. 三角形重心G的坐标可以表示为三个顶点的坐标之和的平均值，即：

GX = (AX + BX + CX) / 3

GY = (AY + BY + CY) / 3

GZ = (AZ + BZ + CZ) / 3

2. 三角形顶点与重心之间的向量之和等于零，即：

AG + BG + CG = 0

这个结论表明，通过连接三角形的每个顶点和重心构成的向量，并将它们相加，得到的结果是零向量。也就是说，三个顶点到重心的向量之和为零。

这个结论可以用来求解三角形重心的坐标，以及在一些相关求解中的应用。

Answer 3

三角形重心向量的定义：若三角形 ABC中，点D、E、F分别在 ABC的三条边 AB、 BC、 CD上，则D点在 ABC中的位置向量为，它的方向为。
三角形重心向量是由三条边所组成的图形，其中三条边分别叫做三个顶点。
三角形重心向量有两个方向：一个方向是与边 AB平行的，另一个方向是与边 BC平行的。
三角形重心向量与三角形三个顶点无关，因此三角形重心向量不是三角形三条边中的一条。但是它仍然与三角形三内角有关，这三个角分别是：60°、90°和180°。
因为三角形重心向量可以表示为：
其中是线段 AB的长度，也就是图中用粗体字标出来的长度。

Answer 4

三角形重心是三角形内部三条中线的交点，也是三角形重心向量的定义。三角形重心向量具有以下特点：
1. 重心向量是三个顶点向量的和的平均值。
设三角形的三个顶点分别为 A、B、C，对应的顶点向量分别为 OA，OB，OC。那么重心向量 G 就是这三个顶点向量的和的平均值，即 G = (OA + OB + OC) / 3。
2. 重心向量划分的三个向量比例相等。
设重心向量为 G，那么三个向量 AG、BG、CG 的模长满足：|AG|/|BG| = |AG|/|CG| = |BG|/|CG|。
举例说明：
考虑一个三角形 ABC，其中 A 的坐标是 (1, 1)，B 的坐标是 (5, 3)，C 的坐标是 (3, 6)。
1. 计算各个顶点的向量：
OA = (1, 1)，OB = (5, 3)，OC = (3, 6)。
2. 计算重心坐标：
G = (OA + OB + OC) / 3 = ((1, 1) + (5, 3) + (3, 6)) / 3 = (9/3, 10/3) = (3, 10/3)。
3. 计算重心向量的模长：
|AG| = |G - A| = |(3, 10/3) - (1, 1)| = |(2, 7/3)| = sqrt(2² + (7/3)²) ≈ 2.69。
|BG| = |G - B| = |(3, 10/3) - (5, 3)| = |(-2, 1/3)| = sqrt((-2)² + (1/3)²) ≈ 2.07。
|CG| = |G - C| = |(3, 10/3) - (3, 6)| = |(0, -8/3)| = sqrt(0² + (-8/3)²) ≈ 2.67。
4. 验证重心向量划分比例相等：
|AG|/|BG| ≈ 2.69/2.07 ≈ 1.30，|AG|/|CG| ≈ 2.69/2.67 ≈ 1.01，|BG|/|CG| ≈ 2.07/2.67 ≈ 0.77。
通过计算可见，重心向量的模长满足相应的比例关系，验证了重心向量划分的三个向量比例相等的性质。