Question

数学题求极限

p,q＞0,a_0=-q/p;a_(n+1)=(2a³_n-q)/(3a²_n+p).求极限a_n(n→∞).(_n表示下标n)

Answer 1

a0=-q/p,p,q>0,

设f(x)=(2x^3-q)/(3x^2+p),-q/p≤x≤0,则f(x)<0,
f'(x)=[6x^2(3x^2+p)-6x(2x^3-q)]/(3x^2+p)^2
=6x(px+q)/(3x^2+p),
当-q/p<x<0时f'(x)<0,f(x)是减函数，
所以0>a1=f(a0)=f(-q/p)>f(x)>f(0)=a0,
同理，f(0)<f(a1)<f(a0),即a0<a2<a1,
以此类推得a1>a3>a2,可知a<n+1>始终介于a<n-1>与an之间。
f[f(x)]是增函数，由a0<a2知{a<2n>}是增序列，有上界a1,有极限x1.
由a1>a3知{a<2n+1>}是减序列，有下界a0,有极限x2.
因a<n+1>始终介于a<n-1>与an之间，故x1=x2,设为x,则
x=f(x)=(2x^3-q)/(3x^2+p),
3x^3+px=2x^3-q,
x^3+px+q=0,
△=q^2/4+p^3/27>0,此方程有唯一实根
x=[-q/2+√（q^2/4+p^3/27）]^(1/3)+[-q/2-√（q^2/4+p^3/27）]^(1/3)。
仅供参考。