Question

求满足微分方程y''-y'=4xe^x,y0=0,y'0=1的特解 在线等详细过程 各位大神们

Answer 1

前一篇文章我们已经介绍过有关y′′=y的解法，可能多少人不是很明白，但数学的本质是相同的，本篇我们就从另一个角度来解这个二阶齐次线性微分方程：

首先从代换入手，如下假设y′=dy/dx=p，那么y′′=p.(dp/dy)，于是得到如下结果：

我们变换下，根据分离变量，得到如下一个一元二次方程：

解得方程的根是：

我们再变换到之前的样式如下图：一个一阶非线性微分方程

上述方程的最终解就是：arsh 表示反双曲正弦函数，即arsinh

希望你能看懂，可以和前一篇做个比较，谈谈你的看法

Answer 2

常微分方程是微积分学方程中常见的，应用非常广泛的方程，下面就来讨论常微分方程中最简单的变量分离微分方程。
设一阶微分方程式：
其中f(x,y)是给定的函数，我们要做的工作是求微分方程的解y=y(x),可是一般不能用初等方法来解出这个微分方程，但是当微分方程的右端f(x,y)取某几种特殊的类型时，就可用初等积分法求解。
本篇讲一个重要的特殊情形
此时开篇中的微分方程就变成了
这样的方程称之为变量分离的方程。
例如下图都是变量分离的方程，
对于变量分离的方程，可用初等积分法求它的解，为了有浅入深的掌握变量分离方程的解法，我们特地分作两步讨论 。
假设g(y) 是常数，可设g(y) =1
此时微分方程式就变成了
为了可以对它进行积分运算，我们假设函数h(x)在区间a<x<b上连续，这实际上就是求h(x)原函数问题，因此可以直接对其取不定积分，就得到它的通解
其中O是一个任意的常数，为了确定通解的任意常数O，需附加初始条件
这里y0是任意给定的初始值，为了从通解中找出满足初始条件的那个解，令x=x0,得到y(x0)=O,从而确定O=y0,从而得到
假设g(y)不是常数
此时微分方程右端与未知数y有关，因此不能像上述那样直接取不定积分求解，我们需要克服这个困难，因此假定y=y(x)是开篇中微分方程的一个解，即它满足
且设g(y)不等于0，那么可用分离变量法把上述方程写成
这样一来，自变量x与未知数y互相分离，因此可以对方程取不定积分得
其中α和β分别是固定的积分下限，而O是任意常数，令
则这个方程就变成了
总结上面的讨论，我们得知微分方程的解y=y(x)满足隐函数方程G(y)=B(x)+O
上述就是的常微分方程中最简单的可分离变量方程的探讨，非常简单。