Question

初三的一道数学题目，请稍微快一点啊，TAT马上要交了

如图一，在边长为8√2cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，他们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG⊥AC交Rt△ACD于G，连接HG、EB，设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2（这里规定线段面积为0）E到达C，F到达A停止，若E的运动时间为Xs,解答下列问题
（1）当0＜X＜8时，直接写出以E、F、G、H为顶点的四边形是什么四边形，并求出X为何值时S1=S2
（2）①若Y是S1与S2的和，求Y与X之间的函数解析式
②求Y的最大值

Answer 1

（1）
连接DB交AC于O，过E作EI垂直AB于I。
因为ABCD边长为8√2cm的正方形，所以AC=√2*(8√2)=16cm
因为E、F的速度是1cm/s
所以X(最大值)=16/1=16s
所以X的范围：[0,16]

容易知道任何时候HE=GF
在0＜X＜8时即E的运动范围从A到O点
所以以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形（先是长方形，后为正方形，再为长方形）
所以S1=S(HEFG)=HE*EF=AE*EF=(X*1)*(AC-2AE)=X(16-2X)
S2=1/2*AB*EI=1/2*8√2*[AE/(√2)]=4√2*(X/√2)=4X

所以当S1=S2时，即X(16-2X)=4X
解方程得：X=6或X=0（舍去）
所以当X=6时S1=S2

（2）
Y=S1+S2=X(16-2X)+4X=-2X²+20X
Y(最大值)=50（X=5时）