Question

初三数学二次函数问题

已知二次函数y=x方-2(m-1)x+m方-2
（1）证明不论m为何值，二次函数图像的顶点均在同一直线上，求出此直线的函数解析式。（2）若二次函数图像在X轴上截得的线段长为4，求出此二次函数的解析式。 请附上具体解题步骤，谢谢～

Answer 1

（1）证明：根据题意将方程配方得：
y=x^2-2(m-1)x+m^2-2=[x-(m-1)]^2+m^2-2-(m-1)^2
整理得：y=x-(m-1)]^2+2m-3
得该函数的顶点恒为x=m-1,y=2m-3即顶点为（m-1,2m-3）
因此x，y满足关系为：y=2(x+1)-3=2x-1
所以二次函数图像的顶点均在y=2x-1上
（2）由二次函数图像在X轴上截得的线段长为4
得方程x^2-2(m-1)x+m^2-2=0的两根x1，x2的距离即/x1-x2/=4
因此由/x1-x2/=4得
（x1-x2）^2=16
展开得x1^2+x2^2-2x1x2=16
（x1+x2）^2-4x1x2=16
由根与系数关系得
x1+x2=2(m-1)
x1x2=m^2-2
将x1+x2=2(m-1)和x1x2=m^2-2代入（x1+x2）^2-4x1x2=16得
m=-5/2
所以二次函数的解析式为：y=x^2+7x+17/4

Answer 2

y=x²-2（m-1）x+m²-2=（x-m+1）²+2m-3
顶点（m-1，2m-3） 顶点在直线y=2x+1上

二次函数图像在X轴上截得的线段长为4
做大致图像 |x1-x2|=4 （x1-x2）²=16
根据韦达定理 x1+x2=2m-2 ① x1x2=m²-2②
①²-4×②=16
m=-1/2
代入 y=（x+3/2）²-4

Answer 3

证明：y=x方-2(m-1)x+m方-2 配方得 y=[x-(m-1)]方+2m-3 得出此函数只有最小值，定点也就是它的最低点，最低点坐标为x=m-1 y=2m-3
y=2(m-1)-1=2x-1
上式为顶点横坐标与纵坐标的关系，此函数为一条直线，故二次函数图像的顶点均在同一直线上
2）由题意知 x方-2(m-1)x+m方-2=0 解得x=+ -