Question

如何证明恒等式arctanx+arcsin2x/1+x^2 =π？

Answer 1

证明如下：

令f(x)=2arctanx+arcsin2x/(1+x2)f'(x)

=2/(1+x^2)+1/√［1-(2x/(1+x2))^2]*'

=2/(1+x^2)+(1+x^2)/(1-x^2)*/(1+x^2)^2

=2/(1+x^2)+(1+x^2)/(1-x^2)*/(1+x^2)^2=0

可见f(x)=2arctanx+arcsin2x/(1+x2)是常函数那么随便输入一个x值

比如x=1，就可以得f(x)=π

恒等式符号“≡”。

两个解析式之间的一种关系。给定两个解析式，如果对于它们的定义域的公共部分组，都有相等的值，就称这两个解析式是恒等的。

例如x²－y²与(x+y)(x－y) ，对于任一组实数(a,b)，都有a²－b²=(a+b)(a－b)，所以x²－y²与(x+y)(x－y)是恒等的。

两个解析式恒等与否不能脱离指定的数集来谈，因为同样的两个解析式，在一个数集内是恒等的，在另一个数集内可能是不恒等的。例如x，在非负实数集内是恒等的，而在实数集内是不恒等的。