Question

arcsinx的麦克劳林级数怎么计算？

Answer 1

如下：

y=arcsinx。

x = siny求导得：

1=cosy * y'。

所以y'(0)=1。

再求导得：

0=cosy * y'' - siny y' =>cos^2y y'' - siny = 0。

所以y''(0) = 0。

继续求导下去就可以得到y(n)(0)的值，就可以得到泰勒展开式了。

函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。

介绍

麦克劳林级数(Maclaurin series)是函数在x=0处的泰勒级数，它是牛顿(I.Newton)的学生麦克劳林(C.Maclaurin)于1742年给出的，用来证明局部极值的充分条件，他自己说明这是泰勒级数的特例，但后人却加了麦克劳林级数这个名称。

利用麦克劳林级数展开函数，需要求高阶导数，比较麻烦，如果能利用已知函数的展开式，根据幂级数在收敛域内的性质，将所给的函数展开成幂级数，这种方法称为间接展开法。