Question

为什么样本均值分布服从自由度n的卡方分布,而样本方差分布服从自由度n-1的分布？

Answer 1

样本均值分布服从自由度n的卡方分布，而样本方差分布服从自由度n-1的分布是因为：通过一个引理，就是标准正态变量的随机分布服从自由度为1的卡方分布，以及服从卡方分布的随机变量和仍服从卡方分布且自由度为原随机变量自由度之和。然后在通过归纳法证明。

样本方差估计量如果是用没有修正的方差公式来估计总计方差的话是会有偏差，是会低估了总体的样本方差的。为了能无偏差的估计总体方差，所以要对方差计算公式进行修正，修正后就得到（n-1)*样本方差与总体方差之比服从自由度为n-1的卡方分布。

常常把一个式子中

独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是：若式子包含有 n 个变量，其中k 个被限制的样本统计量，则这个表达式的自由度为 n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这 n 个变量，其中ξ1-ξn-1相互独立，ξn为其余变量的平均值，因此自由度为 n-1。