Question

如何用确界存在定理证明聚点原理?

Answer 1

如下：

设考虑的有界无穷点集为X,我们将R分为两部分，(-∞，c]与(c，+∞)，令A为使得(-∞，c]只包含有限个或者0个X中的点的所有c的集合，则对每个A中的c，(c，+∞)必定包括无穷个X中的点。

由于X有界，设其上界为M，则A必有上界M+1，由确界原理知A存在上确界ξ，取区间(ξ-ε，ξ+ε)，可知其必定包括X的无穷个点，否则(-∞，ξ+ε]只包括X中有限个点，ξ+ε∈A，与ξ为A上确界相悖。现在令ε→0，可知在ξ的任意领域内都有无穷个X中的点，所以ξ为X的一个聚点。

确界原理

若把+∞和-∞补充到数集当中，并规定任意一实数a与+∞，-∞的关系为-∞<a<+∞,则确界的概念可扩充为：若数集S无上界，则规定+∞为S的非正常上确界，记做sup S=+∞。

若S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界，记做inf S=-∞，相应的，若S有上确界或者下确界，则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。