Question

1+x的1/x次方的极限是什么？

Answer 1

1+1/x的x次方的极限是1。具体回答如下：

（1+1/x）＝e^(xln(1+1/x)，只需求limxln(1+1/x)＝limln(1+1/x)/(1/x)，用洛必达法则，等于上下分别求导再求极限，结果为0，所以原式极限为1。和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

极限的意义：

和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

Answer 2

要求解lim(x→∞) (1+x)^(1/x)的极限，可以使用一些数学技巧。
首先，我们注意到当趋向于正无穷时，1/x趋于0。因此，我们可以将极限改写为(x→) (1+x)^(1/x =1^∞)。
然，我们可以利用自然对数的性来进步处理令y ln((1+x)^(1/x))，我们可以原始的极限转化为求y的极限：
lim(x→∞) ln((1+x)^(1/x)) = lim(x→∞) (1/x)ln(1+x)。
接下来，我们可以利用洛必达法则计算这个极限。对于这个函数，我们分对分子和分母求导，在x趋向无穷大的极限下，次应用洛必达法则。
根据洛必达法则，我们有：
(x→∞) (1/x)ln(1+x) = lim(x→∞) ln(1+x) /。
再次应用洛必达则，我们有：
lim(x∞(1+x) / x = lim(x→∞) 1 / (1+x) = 1 / ∞ 0。
因此，原始极限lim(x→∞) (1+x)^(1/x)的值为^0 = 1。