Question

正负惯性指数和特征值的关系是怎么样的？

Answer 1

特征值和正负惯性指数的关系：一个对称阵的正特征值的个数就是正惯性指数，负特征值的个数就是负惯性指数。

用矩阵的语言来表述即：与一个给定的实对称矩阵A合同的对角矩阵的对角线元素中，正的个数和负的个数是由A确定的，把这两个数分别称为A的正惯性指数和负惯性指数。合同于A的规范对角矩阵是唯一的，其中的自然数p，q就是A的正，负惯性指数。

相关定理

定理1两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等．（即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等。

定理2实对称矩阵A的正（负）惯性指数就是它的正（负）特征值的个数。

推论两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正（负）特征值的个数都相等。