Question

矩阵相似的充要条件是什么?

Answer 1

充要条件：

1、两者的秩相等。

2、两者的行列式值相等。

3、两者的迹数相等。

4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。

5、两者拥有同样的特征多项式。

6、两者拥有同样的初等因子。

若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。

任意两个3阶矩阵A，B相似的方法：

1、先求特征多项式,f(λ)=|λE-A|,g(λ)=|λE-B|。

2、若f(λ)≠g(λ)则矩阵A,B不相似。

3。若f(λ)=g(λ),且有3个不同根,则矩阵A,B相似。

4、若f(λ)=g(λ),且有2个不同根,即f(λ)=g(λ)=(λ-a)^2(λ-b)，(aE-A)(bE-A)=(aE-B)(bE-B)=0, 则矩阵A,B相似。

两个矩阵的特征值相等的时候不一定相似。

但当这两个矩阵是实对称矩阵时， 有相同的特征值必相似。

比如当矩阵A与B的特征值相同，A可对角化，但B不可以对角化时，A和B就不相似。