Question

解不等式x-y＝3 2x+3y＝1？

Answer 1

01原题再现
[2019年模拟考试题]已知实数x，y满足x>1，y>0，且x+4y+1/(x－1)+1/y=11，则1/(x－1)+1/y的最大值？
这道题与之前的题有所不同，我们之前的题是未知和已知是独立的，但是这道题求的已知中的一部分，像这样的题是不是还可以使用基本不等式求最大值呢？
答案是肯定的，但是需要转化。
该怎么转化呢？
我们会发现求未知量1/(x－1)+1/y的最大值时，将已知转化成单位1的形式与该未知量相乘不能改变什么，反而是题变得繁琐。
如果将已知x+4y+1/(x－1)+1/y=11变形成1/(x－1)+1/y=11－（x+4y）的形式，取x+4y的最小值得到1/(x－1)+1/y的最大值，此时1/(x－1)+1/y和x+4y含有相同的变量，是不能将它们分别看成一个独立的个体——这样求就是错误的。
换元法——也是一种转化的形式。
02换元法扭转乾坤
设t=1/(x－1)+1/y，则x+4y=11－t。
这样转化还不行!!!
为什么呢？
因为我们换元后还要使用基本不等式，所以我们要构建出倒数的关系的形式，这样才可以使用基本不等式，使基本不等式满足“定”的条件。
所以此时x+4y=11－t转换为(x－1)+4y=10－t的形式。
注意：别忘了，换元后的t的范围！
因为x>1，y>0，则t=1/(x－1)+1/y>0.
则上述的题就变形为：已知(x－1)+4y=10－t，x>1，y>0，则求t=1/(x－1)+1/y的最大值？
03使用基本不等式求解最大值
将t变形，即去掉1/(x－1)和1/y得到
t(10－t)=[1/(x－1)+1/y]·[(x－1)+4y]
=1+4y/(x－1)+(x－1)/y+4
使用基本不等式得到
≥5+2√[4y/(x－1)·(x－1)/y]
=5+4=9.
注意：此时取等条件为4y/(x－1)=(x－1)/y.
则上述的问题转化成为t(10－t)≥9.
将t(10－t)≥9变形为t^2－10t+9≤0，解得到1≤t≤9.
综上所述，1/(x－1)+1/y最大值为9.
04总结
在出现上述题的情况，即求已知条件中的一部分的时候，需要通过换元法，将变量统一，然后再进行正常的变形，变形成可以使用基本不等式的形式，从而求出最大值。
换元法——也是一种变形转化的有利武器.
例如求(4y^2+y)/(3y－1)的最值时，我们发现通过分子分母同时除以y时的变形情况时也不能得到我们想要的结果，但是通过换元法就可以该变这一情况。
即设3y－1=t，则y=(t+1)/3.
则(4y^2+y)/(3y－1)=[4/9（t^2+2t+1）+(t+1)/3]/t，整理的到
(4y^2+y)/(3y－1)=1/9（4t^2+11t+7）/t。
这样通过换元法转化后，再使用分子分母同时除以一个数的情况，就可以将上述的函数转化成对勾函数，即可以使用基本不等式了。
所以转化时，记住换元法也是转化变形的好武器。
这题型会了，基本不等式基本就不是问题了，绕了两个弯，都是重点
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