Question

一元二次方程中的常用公式有哪些？

Answer 1

　一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则
　　X1+X2= -b/a
　　X1*X2=c/a
　　用韦达定理判断方程的根
　　一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，
　　由二次函数推得　若b^2-4ac<0 则方程没有实数根
　　若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
　　若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a
　　（注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0）
　　可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a
　　1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a
　　所以X1﹢X2=-b/a
　　2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]
　　所以X1X2=c/a
　　（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2
　　（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a
　　又因为X1.X2的值可以互换，所以则有
　　X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】
　　所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a
　　韦达定理推广的证明
　　设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。
　　则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
　　所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi　（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）
　　通过系数对比可得：
　　A（n-1）=-An(∑xi)
　　A（n-2）=An(∑xixi)
　　…
　　A0=[(-1) ]×An×ΠXi
　　所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)
　　∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)
　　…
　　ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)
　　其中∑是求和，Π是求积。
　　一元五次方程验证:
　　已知一个一元五次方程：a1*(x^5)+b*(x^4)+c*(x^3)+d*(x^2)+e*x+f = 0 设该式为形式1
　　根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成： a1*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)=0 的形式；且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。
　　把上式展开成：
　　-a1*x1*x2*x3*x4*x5+a1*x*x2*x3*x4*x5+a1*x*x1*x3*x4*x5-a1*(x^2)*x3*x4*x5+a1*x*x1*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x1*x4*x5+a1*(x^3)*x4*x5+a1*x*x1*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x3*x5+a1*(x^3)*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x2*x5+a1*(x^3)*x2*x5+a1*(x^3)*x1*x5-a1*(x^4)*x5+a1*x*x1*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x3*x4+a1*(x^3)*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x4+a1*(x^3)*x2*x4+a1*(x^3)*x1*x4-a1*(x^4)*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x3+a1*(x^3)*x2*x3+a1*(x^3)*x1*x3-a1*(x^4)*x3+a1*(x^3)*x1*x2-a1*(x^4)*x2-a1*(x^4)*x1+a1*(x^5)=0
　　上述方程可化简成：
　　a1*(x^5)-(x2+x1+x4+x5+x3)*(x^4)*a1+(x4*x5+x1*x3+x2*x3+x1*x2+x2*x4+x1*x4+x3*x4+x3*x5+x2*x5+x1*x5)*
　　(x^3)*a1-(x3*x4*x5+x2*x3*x5+x1*x3*x5+x1*x2*x5+x2*x4*x5+x1*x4*x5+x2*x3*x4+x1*x3*x4+x1*x2*x4+x1*x2*x3)*
　　(x^2)*a1+(x2*x3*x4*x5+x1*x3*x4*x5+x1*x2*x4*x5+x1*x2*x3*x5+x1*x2*x3*x4)*x*a1-x1*x2*x3*x4*x5*a1=0
　　设化简后的方程为形式3.
　　最后对比形式1与形式3的x次方相同的数，即可得该多项式根与系数的关系: