一元二次方程中的常用公式有哪些?

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Morax111
2022-06-15
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 一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中,设两个根为x1,x2 则
  X1+X2= -b/a
  X1*X2=c/a
  用韦达定理判断方程的根
  一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中,
  由二次函数推得 若b^2-4ac<0 则方程没有实数根
  若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
  若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
一元二次方程求根公式为:X = (-b±√b^2-4ac)/2a
  (注意:a指二次项系数,b指一次项系数,c指常数,且a≠0)
  可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ,X2= (-b-√b^2-4ac)/2a
  1. X1﹢X2=(-b+√b^2-4ac)/2a+(-b-√b^2-4ac)/2a
  所以X1﹢X2=-b/a
  2. X1X2= [(-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[(-b-√b^2-4ac﹚÷2a]
  所以X1X2=c/a
  (补充:X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2
  (扩充)3.X1-X2=(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a
  又因为X1.X2的值可以互换,所以则有
  X1-X2=±【(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a】
  所以X1-X2=±(√b^2-4ac)/a
  韦达定理推广的证明
  设X1,X2,……,xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。
  则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
  所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)
  通过系数对比可得:
  A(n-1)=-An(∑xi)
  A(n-2)=An(∑xixi)
  …
  A0=[(-1) ]×An×ΠXi
  所以:∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)
  ∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)
  …
  ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)
  其中∑是求和,Π是求积。
  一元五次方程验证:
  已知一个一元五次方程:a1*(x^5)+b*(x^4)+c*(x^3)+d*(x^2)+e*x+f = 0 设该式为形式1
  根据高斯的代数原理:上式在复数范围内必可分解成: a1*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)=0 的形式;且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。
  把上式展开成:
  -a1*x1*x2*x3*x4*x5+a1*x*x2*x3*x4*x5+a1*x*x1*x3*x4*x5-a1*(x^2)*x3*x4*x5+a1*x*x1*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x1*x4*x5+a1*(x^3)*x4*x5+a1*x*x1*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x3*x5+a1*(x^3)*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x2*x5+a1*(x^3)*x2*x5+a1*(x^3)*x1*x5-a1*(x^4)*x5+a1*x*x1*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x3*x4+a1*(x^3)*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x4+a1*(x^3)*x2*x4+a1*(x^3)*x1*x4-a1*(x^4)*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x3+a1*(x^3)*x2*x3+a1*(x^3)*x1*x3-a1*(x^4)*x3+a1*(x^3)*x1*x2-a1*(x^4)*x2-a1*(x^4)*x1+a1*(x^5)=0
  上述方程可化简成:
  a1*(x^5)-(x2+x1+x4+x5+x3)*(x^4)*a1+(x4*x5+x1*x3+x2*x3+x1*x2+x2*x4+x1*x4+x3*x4+x3*x5+x2*x5+x1*x5)*
  (x^3)*a1-(x3*x4*x5+x2*x3*x5+x1*x3*x5+x1*x2*x5+x2*x4*x5+x1*x4*x5+x2*x3*x4+x1*x3*x4+x1*x2*x4+x1*x2*x3)*
  (x^2)*a1+(x2*x3*x4*x5+x1*x3*x4*x5+x1*x2*x4*x5+x1*x2*x3*x5+x1*x2*x3*x4)*x*a1-x1*x2*x3*x4*x5*a1=0
  设化简后的方程为形式3.
  最后对比形式1与形式3的x次方相同的数,即可得该多项式根与系数的关系:
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-07-25 广告
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