Question

高中数学函数题： 已知二次函数y=-x^2+mx-1和点A(3,0),B(0,3）…………

已知二次函数y=-x^2+mx-1和点A(3,0),B(0,3),求该二次函数图像与线段AB有两个不同交点的充要条件

Answer 1

过点A,B的直线的戴距式方程是：x/3+y/3=1
化为斜截式是：y=-x+3
取立抛物线的解析式得
-x+3=-x²+mx-1
x²-(1+m)x+4=0
抛物线与线段AB有两个不同的交点
即上面的方程在[0,3]内有两个不同的根
令f(x)=x²-(1+m)x+4，则它与x轴的交点在[0,3]内，所以需满足
(1+m)²-4×4>0，f(3)≥0，0<(1+m)/2<3
|1+m|>4，9-3(1+m)+4≥0，0<1+m<6
m>3或m<-5，m≤10/3，-1<m<5
取交集得
3<m≤10/3
即抛物线C:y=-x2+mx-1,点A(3,0)点B(0,3),求C与线段AB有两个不同交点的充要条件是3<m≤10/3

简单点就是：

解：AB直线方程为y=-x+3
又∵y=-x^2+mx-1=-x+3......=>g(x)=x^2-(m+1)x+4=0
∵有两个不同的交点
∴△＞0.......=>(m+1)^2-16＞0......=>m＞3或m＜-5-------①
g(0)≥0-------②

g(3)≥0-------③

联立②③可以得到：m≤10/3--------④

联立①④可以得到：3＜m≤10/3

Answer 2

设y＝kx+b，由题意可以求出k＝-1和b＝3，联立抛物线C和y＝kx+b消去y，得关于x的一元二次方程，因为抛物线C与线段MN有两个不同交点，所以判别式要大于0，可以求出关于m的取值范围是m>3,或m<-5，这就是该充要条件

Answer 3

由二点式得直线AB方程：x+y-3=0
∵函数y=-x^2+mx-1=-( x-m/2)^2+ m^2/4-1
二者联立3-x=-x^2+mx-1==>x^2-(m+1)x+4=0
解得x1= {(m+1)-√[(m+1)^2-16]}/2
X2={(m+1)+√[(m+1)^2-16]}/2
若要使该二次函数图像与线段AB有两个不同交点
须使：
x1= (m+1)-√[(m+1)^2-16]>0，即(m+1)^2>(m+1)^2-16
X2={(m+1)+√[(m+1)^2-16]}/2<3
即[(m+1)^2-16]<(5-m)^2==>m<10/3
⊿=(m+1)^2-16=0==>m1=-5，m2=3
综上：
要使该二次函数图像与线段AB有两个不同交点的充要条件为3<m<=10/3
要使该二次函数图像与直线AB有两个不同交点的充要条件为m<-5或m>3

Answer 4

解：
二次函数y=f（x）=-（x-m/2）^2+m^2/4-1
线段AB的方程：y=g(x)=-x+3,x∈【0，3】

两个交点的条件是
f（0）<=g(0)

f(3)<=g(3)，得m<=10/3

x=m/2∈（0，3）,得0<m<6

-m/2+3<m^2/4-1，得m>√17-1或m<-√17-1

综合得10/3<=m<6为有两个交点的充要条件。

Answer 5

由题意AB方程为y=3-x(0≤x≤3）
将二次函数与AB联立得x²-(m+1)x+4=0
即此方程在区间[0,3]内有两解
△＞0
0＜（m+1)/2＜3
4≥0
9-3×(m+1)+4≥0
解之得3＜x≤10/3