Question

不等式的证明

设x,y为正实数，若不等式√x+√y≤a√(x+y)恒成立，求证：a≥√2
请问thuwwjbuoy03
为什么(a^2-2)(x+y)+(√x-√y)^2≥0
若恒成立，显然需要满足(a^2-2)(x+y)≥0
我不太明白，麻烦写写具体过程。谢谢了。

Answer 1

两边平方，移项后易得(a^2-2)(x+y)+(√x-√y)^2≥0……………………（1）
若恒成立，显然需要满足(a^2-2)(x+y)≥0……………………………………（2）（这是因为题目要求恒成立，即对任意x,y成立；当x=y时即得（2）式，此时（1）成立，当x≠y时，在（2）式条件下（1）式任然成立。所以要满足（2）式）
由于x,y>0,由（2）知a^2≥2,由原不等式知a>0,故a≥√2 。

Answer 2

显然不等式两边都大于0 平方后：
x＋y+2√xy≤a^2(x+y)
整理下：(a^2-2)(x+y)+x+y-2√x≥0
(a^2-2)(x+y)+(√x-√y)^2≥0
若恒成立，显然需要满足(a^2-2)(x+y)≥0
即a^2-2≥0
所以a≥根号2