Question

设f(x)=x²,f(x)在[-1,1上]满足拉格朗日定理

Answer 1

如果设 $f(x)=x^2$，那么 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上满足拉格朗日定理的条件是：

• $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 内连续

• $f(x)$ 在区间端点 $x=-1$ 和 $x=1$ 处可导

显然，$f(x)$ 满足上述两个条件，因此 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上满足拉格朗日定理。

接下来，我们可以证明，$f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 中必然存在一个点，使函数在这个点处的导数等于函数在区间端点处的导数的平均值。

首先，我们可以知道 $f(x)=x^2$ 在区间端点 $x=-1$ 处的导数为 $f'(-1)=2\times(-1)= -2$，在区间端点 $x=1$ 处的导数为 $f'(1)=2\times1=2$。因此，$f(x)$ 在区间端点处的导数的平均值为：

$$\frac{f'(-1)+f'(1)}{2}=\frac{-2+2}{2}=0$$

因为 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 内连续，且在区间端点处可导，因此 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 中必然存在一个点 $x_0$，使 $f'(x_0)=0$。这就证明了 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 中必然存在一个点，使函数在这个点处的导数等于函数在区间端点处的导数