Question

求极限limx→0[sinx-sin(sinx)]sinxx4．？

Answer 1

解题思路：此题是求0比0型的极限，由于分子分母可导，所以很容易让人想起用洛必达法则，但我们在用洛必达法则之前，要考虑能否用等价无穷小将其化简．
∵x→0时，sinx～x，sin2x～x2，1-cosx～[1/2x2，1-cos（sinx）～
1
2sin2x～
1
2x2
∴
lim
x→0
(sinx-sin(sinx))sinx
x4=
lim
x→0
sinx-sinx(sinx)
x3]
=
lim
x→0
cosx-cos(sinx)cosx
3x2=
lim
x→0cosx•
lim
x→0
1-cos(sinx)
3x2=
lim
x→0
1-cos(sinx)
3x2
=
lim
x→0

1
2sin2x
3x2=
lim
x→0

1
2x2
3x2=
1
6
,1,是负的还是正的啊,sin(sinx)=sinx+(sinx)³/6+o(sin³x)
原式=[sinx-sinx-(sinx)³/6-o(sin³x)]/x^3*[(sinx/x)]=-1/6,0,