Question

利用导数定义函数方程

设f(x)在（0,无穷大）定义，且f'(1)=a(a不等于0）,对于y（0,无穷大）有f(xy)=f(x)+f(y)，求f(x)
只要基本思路我就给分。。。。

Answer 1

用导数定义的解法：

根据导数定义
f’(x)=lim(⊿x->0)[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x
=lim(⊿x->0){f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x
=lim(⊿x->0)[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x .......∵f(xy)=f(x)+f(y)
=lim(⊿x->0)[f(1+⊿x/x)/⊿x
=f’(1)/x
=a/x
∴f(x)=alnx+C (C为任意常数)

又f(xy)=f(x)+f(y)
∴f(x*1)=f(x)+f(1)
∴f(1)=0
∴aln1+C=0
C=0

∴f(x)=alnx

Answer 2

因f(xy)=f(x)+f(y)
所以两边对x求导可得（左边要用到链式法则）
yf'(xy)=f'(x)
令x=1
则得yf'(y)=a
即f'(y)=a/y
两边积分得到
f(y)=a ln(y)+C
由f(x*1)=f(x)+f(1)
f(1)=0
带入原式得C=0
即f(x)=a ln(x)

Answer 3

f(xy)=f(x)+f(y)
函数f是ln型的
考虑lnx
（lnx）'=1/x
因为f'(1)=a 令f(x）=a*ln(x) 即可

Answer 4

f(x*1)=f(x)+f(1) 得f(1)=0
f(x^2)=f(x)+f(x) 得2f(x)=f(x^2)
得微分方程 [df(x^2)]/[2xdx]=2[df(x)]/(dx) 又f`(1)=a
可得 df(x)/dx=a/x
两边积分得f(x)=alnx+C 又f(1)=0 得C=0
最后得f(x)=alnx