Question

高数题目，如图，求解

Answer 1

如果f(h)是h的连续函数就没有问题了.

反例：f(x)=x+1,当x不为0时；

f(x)=0,当x=0时；

此时lim (f(2h)-f(h))/h=1,

但f(x)在x=0不连续,当然不可导.

其实两个问题最大的区别就是f(ln(1-h))/h利用了

f(0)的信息,这个表达式就是

(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)* ln(1-h)/h,因为ln(1-h)/h极限是-1,

所以f(ln(1-h))/h极限存在等价于(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)

=(f(t)-f(0))/t,其中t=ln(1-h).

而(f(2h)-f(h))/h与f(0)实际上无关.

化简以后还是没有利用f(0)的信息.

最主要的就是(f(h)-f(0))/h这个表达式你得保证

极限的存在性.(f(ln(1-h))-f(0))/ln(1-h)按照上面的分析是有极限的,

实际上利用了f(x)在x=0的连续性.

但(f(h)-f(0))/h在第一种情况下你不知道极限是否存在.

如果存在就没有问题了（因此若加上条件f(x)在x=0连续,就是可导的

一个等价定义）,但不存在的话这么加上f(0)减去f(0)的做法是没有任何用处的.

再补充一下,其实这就是极限的四则运算的性质：

若f(h)－g(h)的极限存在,你不能保证f(h)和g(h)极限都存在,但若其中一个存在,

另一个必然存在；f(h)*g(h)极限存在,也不能保证f(h)和g(h)极限都存在,但若

其中一个存在且不为0,则另一个极限必然存在.上面说的就是这个道理而已.