Question

如何证明f(x)在x=0处连续

Answer 1

若函数f(x)在x=0处连续，则(x趋向于零时)，limf(x)=f(0)。

此时，若：limf(x)/x(x趋向于零时)存在，必有：f(0)=0。

故：(x趋向于零时) lim{[f(x)-f(0)]/(x-0)}=lim{f(x)/x}。

即知：f(x)在x=0处可导。

相关信息： 

 根据可导与连续的关系定理：函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续，但逆命题不成立。

“函数f(x)在点x0处有连续”是“函数f(x)在x0处极限存在”的“充分条件”。

因为“函数f(x)在点x0处有连续”,则f(x)在点x0处的左极限=f(x)在点x0处的右极限=f(x0).即,函数f(x)在x0处极限=f(x0)。

“函数f(x)在x0处极限存在”,此时,①f(x)可以在x0无定义. 必定f(x)在x0不连续②或有可能,f(x)在x0有定义,但f(x0)≠f(x)在x0处极限, 必定f(x)在x0不连续。