Question

求y=x^2与y=x+1所围成的面积

Answer 1

联立：y＝x^2、y＝x＋1,消去y,得：x＋1＝x^2,∴x^2－x＝1,∴（x－1/2）^2＝5/4,
∴x1－1/2＝－√5/2、x2－1/2＝√5/2,∴x1＝1/2－√5/2,x2＝1/2＋√5/2.
显然,有区间［1/2－√5/2,1/2＋√5/2］上,直线y＝x＋1在抛物线y＝x^2的上方.
∴直线与抛物线所围成的区域面积
＝∫（上限为1/2＋√5/2、下限为1/2－√5/2）（x＋1－x^2）dx
＝［（1/2）x^2＋x－（1/3）x^3］｜（上限为1/2＋√5/2、下限为1/2－√5/2）
＝（1/2）［（1/2＋√5/2）^2－（1/2－√5/2）^2］＋［（1/2＋√5/2）－（1/2－√5/2）］
　－（1/3）［（1/2＋√5/2）^3－（1/2－√5/2）^3］
＝（1/2）［（1/2＋√5/2）＋（1/2－√5/2）］［（1/2＋√5/2）－（1/2－√5/2）］＋√5
　－（1/3）√5［（1/2＋√5/2）^2＋（1/2＋√5/2）（1/2－√5/2）＋（1/2－√5/2）^2］
＝（1/2）√5＋√5－（1/3）√5［1＋√5＋（1/4－5/4）］
＝（3/2）√5－（1/3）×5
＝3√5/2－5/3.
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