Question

如何通过解释几何问题来说明抛物线的性质？

Answer 1

第一类是常见的基本结论。

第二类是与圆有关的结论。

第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论。

第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

1、以焦点弦为直径的圆与准线相切（用抛物线的定义与梯形的中位线定理结合证明）。

2、1/|AF|+1/|BF|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。

3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴垂直（此时的焦点弦称为“通径”）时，焦点弦的长度取得最小值2p。

4、如果焦点弦的两个端点是A、B，那么向量OA与向量OB的数量积是-0.75p^2。

抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。

相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。