Question

已知函数f(x)＝lnx+1x−1．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由y=反解x=（y≠0），从而可求得f（x）的反函数f -1（x）；
（Ⅱ）f（x）=＞0⇔[x+1/x−1]＞1（x|x＜-1或x＞1），解之即可．
（Ш）解法一：设t=[x+1/x−1]，则y=lnt，（x＜-1或x＞1），利用坐标变换，作出变换的图象，数形结合即可判断其单调性；
解法二：利用单调性的定义，设x 1，x 2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x 1＜x 1，作差f（x 1）-f（x 2），判断即可．

（Ⅰ） 由y=ln
x+1
x−1得ey=[x+1/x−1]．…（1分）
xey-ey=x+1，…（2分）
xey-x=ey+1，即（ey-1）x=ey+1，…（3分）
∴x=
ey+1
ey−1（y≠0）．…（4分）
∴f-1（x）=
ex+1
ex−1（x≠0）…（5分）
（Ⅱ）∵[x+1/x−1]＞0，
∴x＜-1或x＞1．
所以，函数定义域为{x|x＜-1或x＞1}．…（6分）
根据题意，ln
x+1
x−1＞0，即ln
x+1
x−1＞ln1，…（7分）
∴[x+1/x−1]＞1．即[x+1/x−1−1＞0，也就是
x+1−(x−1)
x−1]=[2/x−1]＞0，…（8分）
∴x＞1．…（9分）
所以，不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞1}．…（10分）
（Ш）解法一：
设t=[x+1/x−1]，则y=lnt，x＜-1或x＞1．…（11分）
t=[x+1/x−1]=[x−1+2/x−1]=1+[2/x−1]．…（12分）
t=[2/x]向上平移1个单位得到t=[2/x]+1，再向右平移1个单位得到t=[2/x]，t=1+[2/x−1]…（13分）
当x∈（-∞，-1）时，t是x的减函数，y是t的增函数； …（14分）
当x∈（1，+∞）时，t是x的减函数，y是t的增函数．…（15分）
所以，函数f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上都是减函数．…（16分）
解法二：
设x1，x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x1，…（11分）
则f（x1）-f（x2）=ln
x1+1
x1−1-ln
x2+1
x2−1=ln
(x1+1)(x2−1)
(x1−1)(x2+1)…（12分）
∵
(x1+1)(x2−1)
(x1−1)(x2+1)-1=
(x1+1)(x2−1)−(x1−1)(x2+1)
(x1−1)(x2+1)=
2(x2−x1)
(x1−1)(x2+1)…（13分）
∵1＜x1＜x1，x2，
∴x2-x1＞0，x1-1＞0，x2+1＞0．
∴
(x1+1)(x2−1)
(x1−1)(x2+1)＞1．…（14分）
从而f（x1）-f（x2）=ln
(x1+1)(x2−1)
(x1−1)(x2+1)＞ln1=0．即f（x1）＞f（x2）．
所以，函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．…（15分）
同理，函数f（x）在（-∞，-1）上也是减函数．…（16分）

点评：
本题考点： 其他不等式的解法；函数单调性的判断与证明；反函数．

考点点评： 本题考查反函数，考查函数单调性的判断与证明，考查解不等式，考查综合分析与运算能力、逻辑思维能力、创新能力，属于难题．