数列an=√2,an+1=√2+an,证明数列的极限存在并求其极限

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西域牛仔王4672747
2022-12-14 · 知道合伙人教育行家
西域牛仔王4672747
知道合伙人教育行家
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毕业于河南师范大学计算数学专业,学士学位, 初、高中任教26年,发表论文8篇。

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a₁=√2<2,
设 a(k)<2,
则 a(k+1)=√[2+a(k)]
<√(2+2)=2,
归纳法知,数列有上界。
明显 a₂=√(2+√2)>√2=a₁,
设 a(k)>a(k-1),
则 a(k+1)-a(k)
=√[2+a(k)]-√[2+a(k-1)]
=[a(k)-a(k-1)] / {√[2+a(k)]+√[2+a(k-1)]}
>0,
所以数列单调递增,
由此可得数列极限存在,
设极限为 a,
已知等式两边取极限,
得 a=√(2+a),
解得 a=2 。
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