Question

高数 定积分

求: f(x)=(积分上限1,下限0,被积表达式为[(t-x)的绝对值dt]) 在区间[0,1]上的最大值和最小值...

Answer 1

∫[0,1] |t-x|dx
=∫[0,t] (t-x)dx + ∫[t,1] (x-t)dx
= (tx-(x^2)/2) |[0,t] +((x^2)/2 -tx )|[t,1]
= (t^2)/2 + [(1/2-t)+(t^2)/2]
= (t^2) -t + 1/2
= (t-1/2)^2 +1/4 0<= t <=1

故：最小值t=1/2时 为 1/4 ,最大值 t=0，1时为 1/2

Answer 2

要分类讨论，其中t是变量,而x是参变量。
将积分区间分为[0,x](0≤t≤x),[x,1](x≤t≤1)
f(x)=∫(1,0)│t-x│dt
=-∫(0,1)│t-x│dt
=-[∫(0,x)│t-x│dt+∫(x,1)│t-x│dt]
=-∫(0,x)│t-x│dt-∫(x,1)│t-x│dt
=-∫(0,x)(x-t)dt-∫(x,1)(t-x)dt
=-(xt-t²/2)│(0,x)-(t²/2-xt)│(x,1)
=-x²/2-x²/2+x-1/2
=-x²+x-1/2

考察函数f(x)=-x²+x-1/2=-(x-1/2)²-1/4(0≤x≤1)
当x=1/2时， f(x)取得最大值为f(1/2)=-1/4
当x=0或x=1时，f(x)取得最小值为f(0)=f(1)=-1/2

Answer 3

要分类讨论
第一：若t大于等于x
则绝对值可以去掉
f(x)=tx-1/2*x^2
问题转化为求f(x)在区间（0,1）上的最值 要注意限制条件t大于等于x
最大值是1/2t^2 最小值为0 （仅供参考）
第二：t小于x
接下来你就自己试一下吧