Question

洛必达法则？

Answer 1

在求取函数的极限时，洛必达法则是一个强有力的工具；但洛必达法则只适用于0/；0和∞/；∞两种情况，具体如下：
①0/；0型：
例：x➔；0lim(tanx-x)/；(x-sinx)【这就是所谓的0/；0型，因为x➔；0时，分子(tanx-x)➔；0，分母x-sinx➔；0】
=x➔；0lim(tanx-x)′/；(x-sinx)′=x➔；0lim(sec²；x-1)/；(1-cosx)=x➔；0limtan²；x/；(1-cosx)【还是0/；0型，继续用洛必达】=x➔；0lim[(2tanxsec²；x)/；sinx]=x➔；0lim(2sec³；x)=2
②∞/；∞型
例：x➔；(π/；2)lim[(tanx)/；(tan3x)]【x➔；(π/；2)时tanx➔；+∞，tan3x➔；-∞，故是∞/；∞型】
=x➔；(π/；2)lim[(tanx)′/；(tan3x)′]=x➔；(π/；2)lim[(sec²；x)/；(3sec²；3x)]=x➔；(π/；2)lim[(cos²；3x)/；3cos²；x]【0/；0型】
=x➔；(π/；2)lim(-6cos3xsin3x)/；(-6cosxsinx)]=x➔；(π/；2)lim[(sin6x)/；(sin2x)]【还是0/；0型】
=x➔；(π/；2)lim[(6cos6x)/；(2cos2x)]=-5/；(-2)=3
③0▪；∞型，这种情况不能直接用洛必达，要化成0/；(1/；∞)或∞/；(1/；0)才能用.
例：x➔；0+lim(xlnx)【x➔；0+时，lnx➔；-∞，故是0▪；∞型】
=x➔；0+lim[(lnx)/；(1/；x)]【x➔；0+时(1/；x)➔；+∞，故变成了∞/；∞型】
=x➔；0+lim[(1/；x)/；(-1/；x²；)]=x➔；0+lim(-x)=0
④1^∞型，1^∞=e^[ln(1^∞)]=e^(∞▪；ln1)=e^(∞▪；0)
例：x➔；0lim(1+mx)^(1/；x)=x➔；0lime^[(1/；x)ln(1+mx)]【e的指数是0/；0型，可在指数上用洛必达】
=x➔；0lime^[m/；(1+mx)]=e^m
⑤∞°型，∞°=e^(ln∞°)=e^(0▪；ln∞)
例：x➔；∞limm[x^(1/；x)]=x➔；∞lime^[(1/；x)lnx]【e的指数是∞/；∞型，可在指数上用洛必达】
=x➔；∞lime^[(1/；x)/；1]=x➔；∞lime^(1/；x)°=e°=1
⑥0°型，0°=e^(ln0°)=e^(0ln0)=e^(0▪；∞)
例：x➔；0lim(x^x)=x➔；0lime^(xlnx)=e
⑦∞－∞型，∞－∞=[1/；(1/；∞)-1/；(1/；∞)]=[(1/；∞)-(1/；∞)]/；[(1/；∞)(1/；∞)=0/；0]
例：x➔；1lim[1/；(lnx)-1/；(x-1)]=x➔；1lim[(x-1-lnx)]/；[(x-1)lnx]【这就成了0/；0型】
=x➔；1lim[1-(1/；x)]/；[lnx+(x-1)/；x]=x➔；1lim[(x-1)/；(xlnx+x-1)]【还是0/；0型】
=x➔；1lim[1/；(lnx+1+1)]=1/；2