证明当n趋向于无穷时数列an=(1*3*5*7*.*2n-1)/(2*4*6*8*.*2n)
证明当n趋向于无穷时数列an=(1*3*5*7*.*2n-1)/(2*4*6*8*.*2n)
2=（1+3）/2>√(1*3) 4=（3+5）/2>√(3*5) …… 2n=[(2n-1)+(2n+1)]/2>√[(2n-1)*(2n+1)]
所以2*4*……*（2n）>√(1*3) *√(3*5)*……*√[(2n-1)*(2n+1)]=1*3*5*……*（2n-1）*√（2n+1）
所以0<[1*3*5*....*(2n-1)]/[2*4*6*..*(2n)]<1/√（2n+1）
由夹逼原理，所求极限为0
数列{an}：当n趋向于无穷时，|an+1 \ an|趋向于0.证明当n趋向于无穷时，an趋向于0.
- 先证明lim |an|存在：
因为lim |an+1 /an|=0，所以n充分大后有|an+1 /an|<1,即|an+1|<|an|,即{|an|}递减,据单调有界收敛准则知lim |an|=a存在。
-
lim |an+1|=lim |an|( |an+1|/|an|)=lim |an|.lim( |an+1|/|an|)=a.0=0,
即lim an=0.
(\是减法记号，/是除法记号，你打错了吧？)
lim n[e2-(1+1/n)^2n],当n趋向于无穷
lim(n→∞) n[e^2-(1+1/n)^(2n)]
=lim(n→∞) [e^2-(1+1/n)^(2n)]/(1/n)
注意(1+1/n)^(2n)的导数是2[ln(1+1/n)-1/(n+1)](1+1/n)^(2n)
原式=lim(n→∞) -2【[ln(1+1/n)-1/(n+1)](1+1/n)^(2n)】/(-1/n^2),用洛必达法则
-2[lim(n→∞) (1+1/n)^n]^2*lim(n→∞) [ln(1+1/n)-1/(n+1)]/(-1/n^2)
=-2e^2*lim(n→∞) [1/(n+1)-ln(1+1/n)]/(1/n^2),令t=1/n
=-2e^2*lim(t→0) [t/(1+t)-ln(1+t)]/t^2
=-2e^2*lim(t→0) [1/(1+t)^2-1/(1+t)]/(2t),再用洛必达法则
=-e^2*lim(t→0) 1/t*[1-(1+t)]/(1+t)^2
=-e^2*lim(t→0) -1/(1+t)^2
=e^2*1/(1+0)^2
=e^2
用粗略的方法:
展开(1+1/n)^(2n)=e^2-e^2/n+7e^2/(6n^2)-4e^2/(3n^3)+...
∴lim(n→∞) n[e^2-(1+1/n)^2n]
=lim(n→∞) n【e^2-[e^2-e^2/n+7e^2/(6n^2)-4e^2/(3n^3)+...]】
=lim(n→∞) n【e^2/n-7e^2/(6n^2)+4e^2/(3n^3)+...】
=lim(n→∞) 【e^2-7e^2/(6n)+4e^2/(3n^2)+...】
=e^2
n趋向于无穷（1/1*3+1/3*5+…+1/（2n-1）（2n+1）
an = 1/[(2n-1)(2n+1)]
= (1/2) [ 1/(2n-1) - 1/(2n+1) ]
Sn = a1+a2+...+an
=(1/2)[ 1- 1/(2n+1) ]
lim(n->∞)[1/(1*3)+1/(3*5)+…+1/[(2n-1)(2n+1)]
=lim(n->∞) Sn
=lim(n->∞)(1/2)[ 1- 1/(2n+1) ]
=1/2
证明 lim(1-1/2^n)=1 n趋向于无穷大
对于任意正数a
存在正整数N=[-log2(a)]+1（解1/2^n<a即可得到）
当n>N时，有|(1-1/2^n)-1|=|-1/2^n|=1/2^n<a
所以极限为1
用定义证明(1*3*5*.*(2n-1))/(2*4*6*.*2n)趋于零，当n趋于无穷。
设an=(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*2n)
易有不等式(k-1)/k<k/(k+1)
代入an有an<(2*4*6*...*2n)/(3*5*7*...*(2n+1))=1/(an*(2n+1))
所以有an<1/根号(2n+1)
对于任意给定的正数t
取N=[((1/t^2)-1)/2]
则对于任意n>N时有an<t
所以得证
对于数列{Xn},若X2n-1趋向于a(k趋向于无穷大），X2k趋向a(k趋向无穷大），证明Xn趋向a(n趋向无穷大）
对于任意的任意小的实数ε，
由X(2k-1)的极限是a，存在正整数K1，当k＞K1时，|X(2k-1)－a|＜ε
由X(2k)的极限是a，存在正整数K2，当k＞K2时，|X(2k)－a|＜ε
取正整数N＝max{2K1－1，2K2｝，当n＞N时，|Xn－a|＜ε，所以Xn的极限是a
证明lim(n/(n^2+1))=0(n趋向于无穷大）
lim n/(n^2+1)
n->∞
=lim 1/n/(1+1/n)
n->∞
(=lim 1/n=0)
n->∞
=0/(1+0)
=0
n趋向于无穷，（2＾n+3＾n+4＾n）＾1/n
consider
L=lim(x-> ∞) ( 2^x +3^x + 4^x )^(1/x)
lnL
=lim(x-> ∞) ln( 2^x +3^x + 4^x ) /x ( ∞/ ∞)
分子，分母分别求导
=lim(x-> ∞) [(ln2).2^x +(ln3).3^x +(ln4).4^x ] /( 2^x +3^x + 4^x )
=lim(x-> ∞) [(ln2).(2/4)^x +(ln3).(3/4)^x +(ln4) ] /[ (2/4)^x +(3/4)^x + 1 ]
=ln4
=>L =4
lim(n-> ∞) ( 2^n +3^n + 4^n )^(1/n) = 4
若当n趋向于无穷时，limun=a，证明:当n趋向于无穷时lim|un|=|a|
由limun=a，
知对于任意的e>0,存在自然数k0，使得n>k0时，有|un-a|<e
那么任取e,就存在自然数k=k0,使得n>k0时，||un|-|a||小于等于|un-a|<e
故lim|un|=|a|
