Question

在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM，且交角CBE的平分线于N

（1）求证：MD=NM
（2）苦将上述条件占的“M是AB中的中点”改为“M是AB 上的任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=NM”还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由
是这个图

Answer 1

证明：
（1）作NF垂直CB于F，NG垂直AE于G，MN交BC于H，于是我们就由题意得到正方形NFBG，由图可知三角形DAM相似于三角形MBH相似于三角形NFH，我们社正方形ABCD的边长为a,于是我们就得到AM=BM=a/2,BH=a/4,设FH=x，由相似得NF/FH=2,
（x+a/4)/x=2,x=a/4,所以正方形NFBG的边长为a/2=AM,所以RT三角形DAM全等于
RT三角形MGN,所以DM=MN.
(2)设BM=a,MA=b,则DA=a+b,由于三角形DAM相似于三角形MBH，
所以有BH=ab/(a+b),设FH=x,由三角形NFH相似于三角形MBH,
得到x/(x+ab/(a+b))=b/(a+b),得到x=b^2/(a+b),于是NG=b^2/(a+b)+ab/(a+b)
=b=MA,所以RT三角形DAM全等于RT三角形MGN,所以DM=MN.

Answer 2

1.作DF=MB
在三角形DFM 与MBN中
DF=MB
角1＝角2 因为 角FDM+角DMA=角NMB+角DMA 都是90°
又AD=AB DF=MB 所以AF=AM 角DFM等于MBN 等于135°
ASA 三角形DFM与MBN全等。
那么MD=MN

3.∵MD=MN
∴中点不中点 一样是MD=MN。