Question

请教一道初中数学题

求证，三角形的一条中位线与第三边上的中位线互相平分。

Answer 1

△ABC中，DFE分别为三边的中点

∴DF，EF都是中位线

∴DF‖AC， EF‖AB

∴ADFE为平行四边形

∵AF，DE为平行四边形对角线

∴AF，DE相互平分

即三角形的一条中位线与第三边上的中位线互相平分。

Answer 2

方法很多。
1.连接(第三边的中点)和(中位线与两边的交点) 可以得到平行四边形(中位线定理可证) 所以平分
2.已知：三角形ABC的三边的中点分别为D，E，F
求证：DE与AC互相平分
证明：连接DF，EF，因为都是中点，所以DF，EF也是三角形ABC中位线
因为DF平行且等于1/2AC，又因为AE平行于DF且等于1/2AC，所以DF平行且等于AE，所以ADFE为平行四边形
若AF与DE交于点O，则AO=FO，DO=EO，即AF与DE互相平分
AF为第三条中线，得证
3.分别连接第三边中点与另2边中点，又得到2个中位线，中位线平行等于底边一半，所以，中间的四边形是平行四边形，故互相等分

祝您学习愉快

Answer 3

根据三角型的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 可以推出结论

Answer 4

证：在三角形ABC中，D为AB中点E为AC中点。
将三角形ADE以D为中心逆时针旋转180度至三角形A'DE'。
因为AD=DB，故边DA'与边DB重合，点A'与点B重合。
又角A'DE'=角ADE=180度-角EDB,故点E'、D、E三点共线。
然后证明四边形E'BCE为平行四边形。
因为角DE'A'=角AED=180度-角DEC
所以E'B平行于EC
又因为E'B=AE=EC
所以四边形E'BCE为平行四边形。
有BC=E'E=E'D+DE=2DE，且BC平行于E'E即BC平行于DE