因式分解（y方-z方）（1+xy）（1+xz）+（z方-x方）（1+yz）（1+yx）+(x方-y方)（1+zx）（1+zy）
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解:这是轮换对称式
当y=z时
原式=0+(z²-x²)(1+z²)(1+zx)+(x²+z²)(1+z²)(1+zx)=0
所以原式有因式(y-z),同理它应还有因式(z-x)(x-y)
∴原式有因式(y-z)(z-x)(x-y)
用这个因式除原式所得的商式应是一个三次轮换式(非齐次)
故设原式=(y-z)(z-x)(x-y)[(x³+y³+z³)+b(x²y+y²z+z²x)+c(xy²+yz²+zx²)+dxyz+e(x²+y²+z²)+f(xy+yz+zx)+
g(x+y+z)+h]
其中a,b,c,d,e,f,g为待定常数
因为左边x的最高次数是3,右边(y-z)(z-x)(x-y)中的x的最高次数是2,所以方括号内x的次数不可超过1
∴a=b=c=e=0
比较两边x²y的系数得h=0
比较两边xy³的系数得g=1
比较两边x³y²的系数的f=0
取x=3,y=2,z=1,得d=1
∴原式=(y-z)(z-x)(x-y)(x+y+z+xyz)
当y=z时
原式=0+(z²-x²)(1+z²)(1+zx)+(x²+z²)(1+z²)(1+zx)=0
所以原式有因式(y-z),同理它应还有因式(z-x)(x-y)
∴原式有因式(y-z)(z-x)(x-y)
用这个因式除原式所得的商式应是一个三次轮换式(非齐次)
故设原式=(y-z)(z-x)(x-y)[(x³+y³+z³)+b(x²y+y²z+z²x)+c(xy²+yz²+zx²)+dxyz+e(x²+y²+z²)+f(xy+yz+zx)+
g(x+y+z)+h]
其中a,b,c,d,e,f,g为待定常数
因为左边x的最高次数是3,右边(y-z)(z-x)(x-y)中的x的最高次数是2,所以方括号内x的次数不可超过1
∴a=b=c=e=0
比较两边x²y的系数得h=0
比较两边xy³的系数得g=1
比较两边x³y²的系数的f=0
取x=3,y=2,z=1,得d=1
∴原式=(y-z)(z-x)(x-y)(x+y+z+xyz)
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