Question

在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过D的切线平分AC于E，求证AC是⊙O的切线

△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过D的切线平分AC于E，求证AC是⊙O的切线

Answer 1

要先要理解题意，要证明AC是以BC为直径的圆的切线，实际上就是证明AC垂直BC
证明：
因为 BC为圆的直径
所以 角BDC=90
所以 角DBC+角DCB=90
根据定理 弦切角=弦所对的圆周角 得
角EDC=角DBC 角ADE=角DCB
所以 角EDC+角ADE=90 即 三角形ADC为直角三角形
又因为 点E为AC中点 DE为斜边中线
根据定理 直角三角形斜边中线=斜边一半 得
DE=AE 即 角ADE=角DAE
根据之前所证 角ADE=角DCB 得
角DAE=角DCB
所以 三角形BDC 与 三角形BCA 相似(对应角相等,角DBC=角CBA,角BCD=角BAC(DAE)）
又因为 相似三角形三个角对应相等
所以 角BCA=角BDC=90
所以AC 垂直 BC
得证
如果有不明白的地方 可以继续问我