Question

已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,向量x=a+(t^2+1)b,y=-ka+(1/t)*b.

(1)若x与y垂直，写出k与t的函数解析式，并求出函数的单调区间和最小值。(2)是否存在k,t使x与y平行?若存在,求出k的取值范围.若不存在,说明理由.

Answer 1

∵向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,向量x=a+(t^2+1)b,y=-ka+(1/t)*b
向量x=a+(t^2+1)b=(-1-2t^2,3+t^2)
向量y=-ka+(1/t)*b=(-k-2/t,-2k+1/t)
1. 向量x•向量y=(5t^2-5kt+5)/t=0, k,t为正实数
t^2-kt+1=0==>k=f(t)=t+1/t
令f’(t)=1-1/t^2=0==>t1=-1,t2=1
当t∈(-∞,-1)时，f’(t)>0,函数f(t)单调增；当t∈(-1，0)时，f’(t)<0,函数f(t)单调减；
当t∈(0,1)时，f’(t)<0,函数f(t)单调减；当t∈(1，+∞)时，f’(t)>0,函数f(t)单调增；
当t=1时，函数f(t)取极小值f(1)＝2
2.∵向量x//向量y k,t为正实数
∴(1+2t^2)/(k+2/t)=(3+t^2)/(1/t-2k)
(1+2t^2)/(kt+2)=(3+t^2)/(1-2kt)==>kt^3+kt+1=0
∴k=-1/(t^3+t)
∴当t>0时，k<0；当t<0时，k>0
∴不存在k,t使x与y平行。